Ejercicio B.2 · Matemáticas II PAU Madrid Ordinaria 2023

Tema: Análisis · Del examen Ordinaria (2023)

Enunciado

B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dada la función real de variable real definida sobre su dominio como f(x)={x22+x2si x≤−12x23−3xsi x>−1f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2}{2+x^2} & \text{si } x \le -1 \\ \dfrac{2x^2}{3-3x} & \text{si } x > -1 \end{cases}, se pide:

a)

[0.75 puntos] Estudiar la continuidad de la función en R\mathbb{R}.

b)

[1 punto] Calcular el siguiente límite: lim⁡x→−∞f(x)2x2−1\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)^{2x^2-1}.

c)

[0.75 puntos] Calcular la siguiente integral: ∫−10f(x) dx\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\,dx.

Enunciado: Ejercicio B.2 · Matemáticas II PAU Madrid Ordinaria 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Estudiar la continuidad de la función en R\mathbb{R}.

Solución: Continua en R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\}. Discontinua en x=1x = 1.

b) Calcular el siguiente límite: lim⁡x→−∞f(x)2x2−1\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)^{2x^2-1}.

Solución: e−4e^{-4}

c) Calcular la siguiente integral: ∫−10f(x) dx\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\,dx.

Solución: −13+23ln⁡2-\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\ln 2

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