Pregunta 2. Opción A · Matemáticas II PAU Asturias Extraordinaria 2026

Pregunta 2. Opción A Un parque acuático está diseñando un nuevo tobogán curvo que debe ser a la vez rápido y seguro. Para ello, se ha modelado la altura del tobogán sobre el suelo mediante la función, $h(x) = 12 - 0.4x^2 + 0.03x^3$, donde $x$ es la distancia horizontal en metros desde el inicio del tobogán y $h(x)$ es la altura sobre el suelo en metros. Se necesita estudiar cómo cambiar la inclinación y la forma del tobogán para asegurarse de que no haya tramos peligrosamente verticales ni zonas demasiado planas.

(a)

[0.75 puntos] Calcula la derivada $h'(x)$ e interpretar el significado de $h'(x)$ dentro del contexto del diseño del tobogán.

(b)

[0.75 puntos] Se considera potencialmente peligroso todo punto donde la pendiente sea menor que $-2$ (demasiada inclinación descendente). Calcula, en caso de existir, los puntos en los que $h'(x) = -2$.

(c)

[1 punto] Determina los valores de $x$ en los que la función $h(x)$ alcanza un mínimo local.