Ejercicio A.2 · Matemáticas II PAU Madrid Extraordinaria 2022

a) Estudie la continuidad de $f(x)$ en $\mathbb{R}$.

Solución: Continua en $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$, discontinua en $x = 0$

b) ¿Es $f(x)$ derivable en $x = 0$? Justifique la respuesta.

Solución: No es derivable por no ser continua en $x = 0$

c) Calcule, si existen, las ecuaciones de sus asíntotas horizontales.

Solución: $y = 2$

c) Calcule, si existen, las ecuaciones de sus asíntotas verticales.

Solución: $x = 0$

d) Determine para $x \in (0,\infty)$ el punto de la gráfica de $f(x)$ en el que la pendiente de la recta tangente es nula: coordenada $x$.

Solución: 2

d) Determine para $x \in (0,\infty)$ el punto de la gráfica de $f(x)$ en el que la pendiente de la recta tangente es nula: coordenada $y$.

Solución: -1

d) Obtenga la ecuación de la recta tangente en dicho punto.

Solución: $y = -1$

d) En el punto obtenido, ¿alcanza $f(x)$ algún extremo relativo? En caso afirmativo, clasifíquelo.

Solución: Mínimo relativo