Ejercicio 2A · Matemáticas II PAU Cantabria Extraordinaria 2026

Considera la siguiente función real:

$$f(x) = \frac{x}{1 - \sqrt{x}}$$

2A) Considera la siguiente función definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 3x + a^2 & \text{si } x < 1 \\[6pt] \dfrac{\ln x}{x} + 4a & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$

donde $a \in \mathbb{R}$. Responde a las siguientes cuestiones:

a)

[0,75 puntos] Calcula los valores de $a$ para los cuales $f(x)$ es continua en todo su dominio.

b)

[0,75 puntos] Calcula las asíntotas de $f(x)$, en función de $a$.

c)

[1 punto] Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.