Pregunta 2 · Matemáticas II PAU Madrid Extraordinaria Coincidencias 2026

Tema: Análisis · Del examen Extraordinaria Coincidencias (2026)

Enunciado

La potencia instantánea en el momento tt, P(t)P(t), es la derivada de la energía producida hasta el momento tt. Una instalación fotovoltaica doméstica en un día despejado genera una potencia en kilowatios (kW) que se modeliza por la siguiente función con respecto a la hora del día t∈[0,24)t \in [0, 24):

P(t)={0si 0≤t<83+3sen⁡(π8(t−12))si 8≤t≤200si 20<t<24P(t) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \le t < 8 \\ 3 + 3\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{8}(t - 12)\right) & \text{si } 8 \le t \le 20 \\ 0 & \text{si } 20 < t < 24 \end{cases}

a)

[1 punto] Determine cuándo esa potencia aumenta y cuándo disminuye. ¿Cuál es el momento del día en que la instalación entrega su potencia máxima? Justifique el procedimiento y responda a las horas correspondientes.

de

a

horas

de

a

horas

horas

b)

[1 punto] Halle la energía producida a lo largo del día en kilowatios hora (kWh).

kWh

Enunciado: Pregunta 2 · Matemáticas II PAU Madrid Extraordinaria Coincidencias 2026

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Justificación y desarrollo de monotonía y extremos

Solución: P′(t)=3⋅π8cos⁡(π8(t−12))=0  ⟹  t=16P'(t) = 3 \cdot \frac{\pi}{8}\cos\left(\frac{\pi}{8}(t - 12)\right) = 0 \implies t = 16. Crece en (8,16)(8, 16), decrece en (16,20)(16, 20).

a) Inicio del intervalo de crecimiento (horas)

Solución: 88

a) Fin del intervalo de crecimiento (horas)

Solución: 1616

a) Inicio del intervalo de decrecimiento (horas)

Solución: 1616

a) Fin del intervalo de decrecimiento (horas)

Solución: 2020

a) Momento de potencia máxima (horas)

Solución: 1616

b) Desarrollo del cálculo de la integral de energía

Solución: E=∫820(3+3sen⁡(π8(t−12)))dt=[3t−24πcos⁡(π8(t−12))]820=36+24πE = \int_8^{20} \left(3 + 3\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{8}(t-12)\right)\right) dt = \left[3t - \frac{24}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{8}(t-12)\right)\right]_8^{20} = 36 + \frac{24}{\pi}

b) Halle la energía producida a lo largo del día en kilowatios hora (kWh).

Solución: 36+24π36 + \frac{24}{\pi} / 43,6443{,}64

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