Examen de Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010 · Recopilatori d'exàmens d'Equacions Diferencials i Càlcul Vectorial (Part 1)

Exercici 1 (18/01/2011). Factor integrant d'una EDO [2.5 punts]

Donada la relació diferencial $yf(xy)\,dx + xg(xy)\,dy = 0$, amb $f(u) \neq g(u)$:

a)

[1 punt] Demostreu que la funció $\mu(x, y) = \frac{1}{xy[f(xy) - g(xy)]}$ actua com a factor integrant de l'equació.

b)

[1.5 punts] Emprant el resultat anterior, determineu la solució general per a l'equació diferencial $2xy^2\,dx + (3x^2y - 4x)\,dy = 0$.

Exercici 2 (18/01/2011). Moviment de cadena en teulada [2.5 punts]

Una cadena homogènia de llargada total $A$ reposa sense fricció sobre una teulada que fa un angle $\alpha$ amb l'horitzontal. Una porció inicial de longitud $y_0$ penja en vertical des de la vora de la teulada.

a)

[0.5 punts] Deduïu l'equació que regeix el moviment de la cadena degut a la gravetat.

b)

[1 punt] Per a l'angle $\alpha = 30^\circ$, trobeu l'expressió analítica de la velocitat $v(y)$ si a l'instant $t = 0$ tenim $v(0) = 0$ i $y_0 = 0$.

c)

[1 punt] Trobeu quant de temps requerirà una cadena de longitud $0.5\text{ m}$ per lliscar totalment de la teulada.

Exercici 3 (18/01/2011). Integrals de línia i conservativitat (2.5 punts)

Sigui el camp vectorial definit a $\mathbb{R}^3$ per $\vec{a} = x^2\vec{i} + y^2\vec{j} + z^2\vec{k}$. Calculeu la circulació del camp a través de:

a)

[1 punt] La trajectòria corba donada per les equacions paramètriques $x = t^3$, $y = t^2$, $z = t$ amb $0 \le t \le 1$, en sentit creixent de $t$.

b)

[1 punt] El segment rectilini que uneix el punt $P(0,0,0)$ amb el punt $Q(1,1,1)$.

c)

[0.5 punts] A la vista dels resultats anteriors, comenteu si és possible afirmar inequívocament que el camp és conservatiu.

Exercici 4 (18/01/2011). Teorema de Gauss-Ostrogradski (2.5 punts)

Considerant el camp vectorial $\vec{f} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ a $\mathbb{R}^3$ i una superfície esfèrica de radi $R$ centrada a l'origen, comproveu la validesa del teorema de la divergència avaluant:

a)

[1.25 punts] El flux de $\vec{f}$ que travessa directament la superfície esfèrica.

b)

[1.25 punts] La integral del volum interior de la divergència d'aquest camp.

Indiqueu per a cadascuna de les afirmacions següents si és vertadera (V) o falsa (F), justificant la resposta:

a. L'equació diferencial $y' = \frac{1}{x\sin^2(y) + 3\cos(y)x^3}$ es pot resoldre transformant-la en una equació de Bernoulli.

L'afirmació és:

V

F

Indiqueu per a cadascuna de les afirmacions següents si és vertadera (V) o falsa (F), justificant la resposta:

b.

Si $y_1$ i $y_2$ són dues solucions particulars qualssevol d'una equació diferencial lineal homogènia $y'' + py' + qy = 0$, aleshores $y(x) = c_1 y_1 + c_2 y_2$ és necessàriament la seva solució general.

Valor de veritat:

Indiqueu per a cadascuna de les afirmacions següents si és vertadera (V) o falsa (F), justificant la resposta:

c.

En la integració numèrica d'EDOs mitjançant mètodes de Runge-Kutta, l'ordre global del mètode ha de ser obligatòriament un nombre parell (RK2, RK4,...).

Indiqueu per a cadascuna de les afirmacions següents si és vertadera (V) o falsa (F), justificant la resposta:

d.

Per a qualsevol camp escalar $\phi(\vec{r})$ a $\mathbb{R}^3$, el valor intrínsec del seu laplacià és independent del sistema de coordenades adoptat.

Valor de la proposició:

Indiqueu per a cadascuna de les afirmacions següents si és vertadera (V) o falsa (F), justificant la resposta:

e.

Si la circulació d'un camp vectorial sobre una trajectòria plana tancada és nul·la, el rotacional ha de ser idènticament zero a cadascun dels punts del domini interior.

Exercici 1 (17/01/2012). Model d'expansió d'un rumor (2.5 punts)

A l'instant inicial $t = 0$, una tercera part d'una comunitat de 15.000 científics rep el rumor sobre la troballa del bosó de Higgs. La taxa de propagació és proporcional al nombre de científics informats, $N(t)$, multiplicat pel nombre dels qui encara ho ignoren. Inicialment, la variació de $N(t)$ és de 1000 científics/dia.

a.

[0.5 punts] Formuleu l'equació diferencial associada calculant la constant de proporcionalitat $k$:

dies⁻¹

b.

[0.5 punts] Trobeu la solució general de l'EDO en funció d'una constant arbitrària $C$ o $A$:

c.

[0.5 punts] Determineu la solució particular sotmesa a les condicions inicials:

d.

[0.5 punts] Calculeu quan haurà arribat la notícia als 5/6 de la població total (useu $\ln(10) \approx 2.3$):

dies

e.

[0.5 punts] Estimeu mitjançant el mètode d'Euler el nombre de científics que sabran el rumor al cap de 3 dies ($N_3$), fent servir passos $h = 1$ dia:

científics

Exercici 2 (17/01/2012). Família de corbes ortogonals [2.5 punts]

Trobeu l'equació de la família de corbes ortogonals a la família de circumferències $x^2 + y^2 = 2ax$, on $a$ és una constant arbitrària.

Exercici 3 (17/01/2012). Potencial de Yukawa i laplacià [2.5 punts]

D'acord amb el model de Yukawa per a la interacció nuclear entre un neutró i un protó, el potencial electrofeble efectiu ve descrit per $U(r) = K\frac{e^{-\alpha r}}{r}$, on $K < 0$ i $\alpha > 0$ són constants i $r$ la distància mútua.

a)

[0.5 punts] Determineu la força $\vec{F}(\vec{r}) = -\vec{\nabla} U$ per a tot $r > 0$.

b)

[1.0 punt] Calculeu de forma directa el flux del camp de forces $\vec{F}$ a través d'una esfera de radi $r = a$ ($a > 0$).

c)

[1.0 punt] Demostreu la relació diferencial $\nabla^2 U = \alpha^2 U$ per a $r \neq 0$.

Exercici 4 (17/01/2012). Teorema de Green al pla [2.5 punts]

Considerant el camp pla $\vec{a}(x,y) = (y-x)\vec{i} + (2x-y)\vec{j}$, verifiqueu el teorema de Green calculant:

a)

[1.25 punts] La integral de línia al llarg del contorn tancat $C = C_1 + C_2$, on $C_1$ és la paràbola $y = x^2$ des de $x = 0$ fins a $x = 1$, i $C_2$ és el segment de recta $y = x$ des de $x = 1$ fins a $x = 0$.

b)

[1.25 punts] La integral doble d'àrea corresponent sobre la regió tancada.

Preguntes 1-5 (17/01/2012). Qüestionari conceptual V/F

Valoreu com a vertadera (V) o falsa (F) cadascuna de les següents afirmacions, justificant breument el resultat:

a.

L'equació diferencial $(t^2 + 1)y' + ty - \sin t = 0$ és una equació diferencial exacta.

Preguntes 1-5 (17/01/2012). Qüestionari conceptual V/F

Valoreu com a vertadera (V) o falsa (F) cadascuna de les següents afirmacions, justificant breument el resultat:

b. Sabent que $y_1(t) = e^t$ i $y_2(t) = te^t$ són solucions particulars de $y'' - 2y' + y = 0$, el wronskià d'aquestes funcions val $W(y_1, y_2) = e^{2t}$.

Vertadera (V)

Falsa (F)

Preguntes 1-5 (17/01/2012). Qüestionari conceptual V/F

Valoreu com a vertadera (V) o falsa (F) cadascuna de les següents afirmacions, justificant breument el resultat:

c. En la resolució numèrica d'EDOs, l'esquema RK4 és generalment més exacte que el RK2 pel fet que RK2 utilitza el pas d'avaluació $h/2$ mentre que RK4 fa servir el pas $h/6$.

Vertadera (V)

Falsa (F)

Preguntes 1-5 (17/01/2012). Qüestionari conceptual V/F

Valoreu com a vertadera (V) o falsa (F) cadascuna de les següents afirmacions, justificant breument el resultat:

d. La corba plana donada per $\vec{r}(t) = a\cos t\,\vec{i} + a\sin t\,\vec{j}$ presenta un radi de curvatura constant.

Vertadera (V)

Falsa (F)

Preguntes 1-5 (17/01/2012). Qüestionari conceptual V/F

Valoreu com a vertadera (V) o falsa (F) cadascuna de les següents afirmacions, justificant breument el resultat:

e. Donat el camp $\vec{f}(\vec{r}) = z^2\vec{i} + y^2\vec{j} + x^2\vec{k}$, el seu flux a través de qualsevol superfície tancada a l'espai és necessàriament nul.

Vertadera (V)

Falsa (F)

Es considera l'equació diferencial de Riccati $2x^2 y' = (x - 1)(y^2 - x^2) + 2xy$.

a)

[0.25 punts] Verifiqueu que $y = x$ és una solució particular.

b)

[0.75 punts] Proveu que mitjançant el canvi $y = x + \frac{1}{v}$ es redueix a una equació lineal en $v(x)$.

c)

[1.0 punts] Calculeu la solució general de l'equació original $y(x)$ (podeu utilitzar $C$ o $C_1$ com a constant d'integració):

d)

[0.5 punts] Trobeu la corba solució particular que creua pel punt $(1, 3)$.

Exercici 2 (21/01/2013). Caiguda lliure amb resistència [2.0 punts]

Un paracaigudista de massa $m$ es precipita des d'un punt a $6000\text{ m}$ d'alçada amb velocitat inicial nul·la ($v_0 = 0$). L'acció de la resistència de l'aire és proporcional a la velocitat mitjançant una constant $k$. Es defineix la posició cap avall amb origen $r = 0$ a l'altura de salt, sota acceleració gravitatòria constant $g$.

a.

Establiu l'equació diferencial del moviment per a la velocitat expressant la derivada $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$ com a funció de $g$, $k$, $m$ i $v$:

b.

Resoleu l'expressió analítica per a la velocitat $v(t)$ en funció de $m$, $g$, $k$, $v_0$ i $t$:

c.

Trobeu la posició $r(t)$ en funció del temps ($m, g, k, v_0, t$), suposant $r(0) = 0$:

d.

Prenent $v_0 = 0$, $g = 10\text{ m s}^{-2}$ i $k = m/5\text{ kg s}^{-1}$, trobeu la distància caiguda al cap de $t = 100\text{ s}$:

e.

En les condicions de l'apartat d), quina és la velocitat terminal de caiguda? I si hagués saltat amb una velocitat inicial de $v_0 = 100\text{ m s}^{-1}$?

El relleu d'un paisatge muntanyós es descriu mitjançant la cota d'altitud $h(x, y) = x\sqrt{y}$ per a la regió $0 \le x, y \le 10$ (distàncies en metres). Una carretera segueix la trajectòria en planta $x(t) = 2t$, $y(t) = t^2$.

a)

Al punt $(2, 1)$, quina és la direcció de màxim pendent per assolir més ràpidament una cota superior?

b)

Quin pendent té el terreny quan se segueix estrictament la trajectòria de la carretera en aquest mateix punt?

El relleu d'un paisatge muntanyós es descriu mitjançant la cota d'altitud $h(x, y) = x\sqrt{y}$ per a la regió $0 \le x, y \le 10$ (distàncies en metres). Una carretera segueix la trajectòria en planta $x(t) = 2t$, $y(t) = t^2$.

c)

Si es descriu l'eix de la carretera tridimensionalment per la corba $\vec{r}(t) = (2t, t^2, 2t^2)$, trobeu el radi de curvatura en aquest punt.

Sigui el camp vectorial definit a $\mathbb{R}^3$ per $\vec{a}(x, y, z) = e^x \sin y\,\vec{i} + e^x \cos y\,\vec{j} + \vec{k}$.

a)

[1,0 punts] Esbrineu si es tracta d'un camp conservatiu.

b)

[1,5 punts] Si ho és, determineu la funció potencial d'on prové.

Preguntes 1-5 (21/01/2013). Qüestionari conceptual V/F

Classifiqueu cadascun dels enunciats en vertader (V) o fals (F), justificant breument la tria:

a.

Per a una equació diferencial de primer ordre $y' = f(x)$, si $y_1(x)$ i $y_2(x)$ són solucions particulars diferents, és possible trobar algun punt $x$ on coincideixin $y_1(x) = y_2(x)$.

V

F

b.

Si $\mu(x,y)$ és un factor integrant de l'equació $M(x,y)\mathrm{d}x + N(x,y)\mathrm{d}y = 0$, aleshores la funció $[\mu(x,y)]^2$ n'és també necessàriament factor integrant.

V

F

Preguntes 1-5 (21/01/2013). Qüestionari conceptual V/F

Classifiqueu cadascun dels enunciats en vertader (V) o fals (F), justificant breument la tria:

c.

El mètode d'integració numèrica de Runge-Kutta d'ordre 2 (RK2) es pot utilitzar per aproximar equacions diferencials ordinàries de les quals ja coneixem la solució general analítica.

Preguntes 1-5 (21/01/2013). Qüestionari conceptual V/F

Classifiqueu cadascun dels enunciats en vertader (V) o fals (F), justificant breument la tria:

d. La torsió d'una corba expressada per $\vec{r}(t) = f(t)\vec{i} + g(t)\vec{j}$ s'anul·la de manera idèntica a tots els punts.

Preguntes 1-5 (21/01/2013). Qüestionari conceptual V/F

Classifiqueu cadascun dels enunciats en vertader (V) o fals (F), justificant breument la tria:

e. Per a qualsevol corba tancada a $\mathbb{R}^3$, la circulació dels camps $\vec{f} = x^2\vec{i} + y^2\vec{j} + z^2\vec{k}$ i $\vec{g} = 2x\vec{i} + 2y\vec{j} + 2z\vec{k}$ té el mateix valor.

Trobeu l'equació de la família de corbes que passen pel punt $(3, 1)$ complint la propietat que el segment de la recta tangent comprès entre el punt de contacte i l'eix d'abscisses queda dividit exactament per la meitat per la seva intersecció amb l'eix d'ordenades.

Es considera l'equació diferencial no lineal de segon ordre $x^2 y y'' = (y - x y')^2$.

a)

Comproveu que mitjançant la substitució $y = e^{\int z(x) dx}$ es transforma en una equació diferencial de primer ordre per a $z(x)$. Escriviu l'equació diferencial lineal resultant en la forma canònica $z' + P(x)z = Q(x)$:

b)

Resoleu l'equació per trobar la funció $z(x)$ i, posteriorment, la solució general $y(x)$:

Es vol determinar l'àrea $A$ del recinte del pla $XY$ fitat per les corbes $y = 3\sin x$, $y = \sin x$ i la recta vertical $x = \pi/2$ (per a $x \ge 0$).

a)

És simplement connexa la regió?

Sí

No

b)

Demostreu mitjançant el teorema de Green que l'àrea es pot avaluar com $A = \frac{1}{2} \oint_C (x\,dy - y\,dx)$. Prenent el camp $\vec{F} = (P, Q) = \left(-\frac{y}{2}, \frac{x}{2}\right)$, quin és el valor del seu rotacional escalar $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$?

c) i d)

Parametritzeu les corbes que delimiten el contorn en sentit antihorari i calculeu les integrals de línia $I_i = \frac{1}{2} \int_{C_i} (x\,dy - y\,dx)$:

e)

Sumeu les integrals de línia per obtenir l'àrea total $A$:

Exercici 4 (20/01/2014). Independència de trajectòria i potencial [2.5 punts]

Donat el camp vectorial $\vec{A} = (4xy - 3x^2 z^2)\vec{i} + 2x^2\vec{j} - 2x^3 z\vec{k}$ definit a $\mathbb{R}^3$:

a)

Demostreu que la integral de línia $\int_C \vec{A}\cdot d\vec{r}$ entre dos punts fixats $P$ i $Q$ és independent de la trajectòria seguida.

b)

Justifiqueu l'existència d'un potencial escalar $\phi$ tal que $\vec{A} = \vec{\nabla}\phi$ i determineu-ne l'expressió general.

Preguntes 1-5 (20/01/2014). Qüestionari conceptual V/F

Classifiqueu les següents afirmacions en vertaderes (V) o falses (F), aportant una breu justificació:

a.

La funció $\mu(x) = e^{x-\ln(1+x)}$ és un factor integrant de l'equació diferencial $y' + \frac{xy}{1+x} - x = 1$.

Preguntes 1-5 (20/01/2014). Qüestionari conceptual V/F

Classifiqueu les següents afirmacions en vertaderes (V) o falses (F), aportant una breu justificació:

b.

En un oscil·lador harmònic esmorteït i sotmès a una força externa, l'equació del moviment és una equació diferencial lineal homogènia del tipus $y'' + py' + qy = 0$ amb $p, q$ constants.

Preguntes 1-5 (20/01/2014). Qüestionari conceptual V/F

Classifiqueu les següents afirmacions en vertaderes (V) o falses (F), aportant una breu justificació:

c.

El mètode de Runge-Kutta RK4 és, en termes generals, exactament 4 vegades més precís que el mètode d'Euler.

Preguntes 1-5 (20/01/2014). Qüestionari conceptual V/F

Classifiqueu les següents afirmacions en vertaderes (V) o falses (F), aportant una breu justificació:

d. La corba espacial $\vec{r}(t) = 2\cos(t)\vec{i} + 3\sin(t)\vec{j} + 4\vec{k}$ té una torsió nul·la a tots els punts.

Classificació (V o F):

Preguntes 1-5 (20/01/2014). Qüestionari conceptual V/F

Classifiqueu les següents afirmacions en vertaderes (V) o falses (F), aportant una breu justificació:

e. Per a qualsevol camp vectorial continu $\vec{f}(\vec{r})$ a $\mathbb{R}^3$, el flux a través d'una superfície semiesfèrica oberta $S$ coincideix amb la integral de la divergència estesa al volum de la semiesfera.

Es considera l'equació diferencial lineal de tercer ordre $x \frac{d^3 y}{dx^3} - 2 \frac{d^2 y}{dx^2} = 0$.

a)

[1.5 punts] Determineu la solució general d'aquesta equació.

b)

[1.0 punts] Raoneu si és possible trobar una solució particular no trivial que verifiqui la condició de passar pel punt $(0, 0)$.

Sí

No

Sigui el camp vectorial definit a $\mathbb{R}^3$ per $\vec{E} = (x + 2y + az)\vec{i} + (bx - 3y - z)\vec{j} + (4x + cy + 2z)\vec{k}$.

a)

[1.0 punts] Trobeu els valors numèrics de les constants $a, b, c$ que fan que $\vec{E}$ sigui un camp conservatiu.

$a =$

$b =$

$c =$

b)

[1.0 punts] Trobeu la funció potencial associada al camp conservatiu que n'ha resultat.

c)

[0.5 punts] Calculeu la circulació d'aquest camp conservatiu al llarg d'una trajectòria que vagi des de l'origen $(0,0,0)$ fins al punt $(1,1,1)$.

A partir de l'equació de Poisson per a la gravitació en forma diferencial, $\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho$, on $\Phi$ representa el potencial gravitatori per unitat de massa ($\vec{g} = -\vec{\nabla}\Phi$) i $\rho$ la densitat de matèria, deduïu l'acceleració de la gravetat $g$ a la superfície d'una estrella esfèrica de radi $R$ i massa total $M$ amb simetria esfèrica.

$g =$

Exercici 4 (19/01/2015). Flux de camp en cilíndriques

Donat el camp expressat en coordenades cilíndriques $\vec{F}(\rho, \phi, z) = \frac{1}{\rho}\,\hat{\rho}$ i la superfície cilíndrica $S$ definida per $x^2 + y^2 = a^2$ amb $0 \le z \le a$:

a)

[0.5 punts] Descriviu l'equació de la superfície $S$ en coordenades cilíndriques (indiqueu l'expressió per a $\rho$ i els intervals dels paràmetres $\phi$ i $z$):

b)

[0.75 punts] Trobeu el camp de vectors normals unitaris $\vec{n}$ a la superfície (orientat cap a l'exterior):

c)

[0.5 punts] Establiu l'expressió analítica per a l'element diferencial d'àrea vectorial $d\vec{S}$:

d)

[0.75 punts] Avalueu el flux del camp vectorial $\vec{F}$ travessant la superfície $S$:

Preguntes 1-5 (19/01/2015). Qüestionari conceptual V/F

Indiqueu la veracitat (V o F) de les afirmacions següents, justificant cadascuna d'elles:

a.

Per a una equació diferencial de la forma $(y')^2 = f(x)$, si $y_1(x)$ i $y_2(x)$ són solucions particulars linealment independents, pot donar-se algun valor de $x$ tal que $y_1(x) = y_2(x)$.

Preguntes 1-5 (19/01/2015). Qüestionari conceptual V/F

Indiqueu la veracitat (V o F) de les afirmacions següents, justificant cadascuna d'elles:

b. La solució general de l'equació diferencial $y'' + y' + y = e^x$ ve donada per l'expressió $y(x) = e^{-x/2} \left( C_1 \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) + C_2 \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) \right) + \frac{1}{3}e^x$.

Indiqueu si l'afirmació és vertadera o falsa:

Preguntes 1-5 (19/01/2015). Qüestionari conceptual V/F

Indiqueu la veracitat (V o F) de les afirmacions següents, justificant cadascuna d'elles:

c.

Si una corba no és plana, la seva torsió és necessàriament diferent de zero a tots i cadascun dels seus punts.

Preguntes 1-5 (19/01/2015). Qüestionari conceptual V/F

Indiqueu la veracitat (V o F) de les afirmacions següents, justificant cadascuna d'elles:

d.

Si en un punt de l'espai la divergència d'un camp és nul·la, el seu rotacional en aquest mateix punt també ho és necessàriament.

Preguntes 1-5 (19/01/2015). Qüestionari conceptual V/F

Indiqueu la veracitat (V o F) de les afirmacions següents, justificant cadascuna d'elles:

e. La circulació al llarg de la circumferència unitària $x^2 + y^2 = 1$ dels camps plans $\vec{f} = xy\vec{i} + x^2 y^2\vec{j}$ i $\vec{g} = x(y + 1)\vec{i} + y^2(x^2 + 1)\vec{j}$ és idèntica.

V

F

Un tub rectilini estret de longitud total $4a$ gira sobre un pla horitzontal amb velocitat angular constant $\omega$ al voltant d'un eix vertical que passa pel seu centre geomètric.

a)

[1.0 punt] Formuleu l'equació del moviment per a una bola de massa $m$ que llisca sense fregament a l'interior del tub en el sistema de referència lligat al tub. Demostreu que la posició radial respon a $r(t) = a\cosh(\omega t)$ si a l'instant $t = 0$ es troba a distància $r = a$ amb velocitat radial inicial zero.

b)

[0.5 punts] Prenent $\omega = 1\text{ s}^{-1}$, quant de temps trigarà la bola en sortir per l'extrem del tub?

c)

[1.0 punt] S'omple ara el tub amb un fluid viscós que genera una força resistent $F_v = -kv^2$. Trobeu la velocitat radial en funció de la posició, $v(r)$, si inicialment s'inicia el moviment des de l'eix de rotació ($r = 0$) amb velocitat $v_0 = m\omega/k$.

Sigui el problema de valor inicial donat per $y' = -2x - y$ amb $y(0) = -1$.

a)

[0.75 punts] Calculeu una aproximació per a $y(0.5)$ mitjançant el mètode d'Euler amb pas $h = 0.1$.

b)

[0.75 punts] Calculeu una aproximació per a $y(0.5)$ utilitzant un mètode RK2 amb el mateix pas $h = 0.1$.

c)

[1.0 punt] Raoneu quin dels dos resultats hauria d'oferir millor precisió. Comproveu-ho resolent l'EDO de manera analítica exacta per calcular $y(0.5)$.

Avalueu la integral de línia del camp vectorial $\vec{a} = (2y - z^2)\vec{i} + e^{y/z}\vec{j} + x^2\vec{k}$ al llarg de la trajectòria parametritzada per $x = t$, $y = t^3$, $z = t^2$ per a $0 \leq t \leq 1$, en el sentit de creixement de $t$.

Considerant el camp vectorial donat en coordenades cilíndriques per $\vec{a} = \frac{z^2}{\phi}\hat{\rho} - \frac{z^2}{\phi^2}\hat{\phi} + \frac{2\rho z}{\phi}\hat{z}$:

a)

[1,25 punts] Comproveu que es tracta d'un camp conservatiu deduint el seu rotacional en coordenades cilíndriques:

b)

[1,25 punts] Determineu el potencial escalar $U(\rho, \phi, z)$ d'on deriva el camp (tal que $\vec{\nabla} U = \vec{a}$, llevat d'una constant additiva $C$):

Preguntes 1-5 (28/06/2010). Qüestionari conceptual V/F

Classifiqueu cadascuna de les asseveracions com a vertadera (V) o falsa (F), justificant breument la conclusió:

a.

L'equació diferencial $y' = \left(\frac{3x+2y+2}{-6x-4y+3}\right)^2$ es pot transformar en una equació de variables separades.

V

F

b.

Per a qualsevol equació diferencial del tipus $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ amb coeficients continus i derivables, sempre és possible trobar un factor integrant $\mu(x)$ o $\mu(y)$ que depengui exclusivament d'una única variable.

V

F

Preguntes 1-5 (28/06/2010). Qüestionari conceptual V/F

Classifiqueu cadascuna de les asseveracions com a vertadera (V) o falsa (F), justificant breument la conclusió:

c.

L'esquema de Runge-Kutta d'ordre 2 (RK2) no és únic; existeixen infinits conjunts de coeficients vàlids que produeixen mètodes d'ordre global 2.

V

F

Preguntes 1-5 (28/06/2010). Qüestionari conceptual V/F

Classifiqueu cadascuna de les asseveracions com a vertadera (V) o falsa (F), justificant breument la conclusió:

d.

Un camp vectorial a $\mathbb{R}^3$ que presenti la forma $\vec{f}(\vec{r}) = f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\vec{r}$ és necessàriament conservatiu.

V

F

Preguntes 1-5 (28/06/2010). Qüestionari conceptual V/F

Classifiqueu cadascuna de les asseveracions com a vertadera (V) o falsa (F), justificant breument la conclusió:

e.

Si el flux net d'un camp a través d'una determinada superfície tancada és zero, la divergència ha de ser nul·la a tots els punts del volum englobat.

V

F

En el model de creixement de tumors de Gompertz, la velocitat de canvi de la població cel·lular $p(t)$ és proporcional ($K_1$) a la població existent i a la quantitat $1 + K_2 \ln(p(t))$.

a)

[0.5 punts] Formuleu l'equació diferencial del procés:

b)

[1.0 punts] Deduïu l'expressió analítica per a $p(t)$ en funció dels paràmetres $K_1, K_2$ i d'una constant d'integració.

c)

[1.0 punts] Amb $p(0) = 10$ cèl·lules, estimeu mitjançant el mètode d'Euler la població al cap de $t = 4$ setmanes utilitzant un pas $h = 1$ setmana, $K_1 = 1\text{ setmana}^{-1}$ i $K_2 = -0.05$. Calculeu el percentatge de desviació respecte a la solució teòrica exacta.

%

Sigui l'equació diferencial $(y\ln y - e^{-xy})dx + \left(\frac{1}{y} + x\ln y\right)dy = 0$.

a)

[0.5 punts] Verifiqueu que no és exacta comprovant les derivades creuades:

b)

[1.0 punts] Esbrineu quina de les següents alternatives constitueix un factor integrant:

c)

[1.0 punts] A partir del factor integrant identificat, trobeu la solució general de l'equació:

Exercici 3 (09/06/2011). Potencial vector i camp magnètic

Una esfera magnètica de radi $a$ centrada a l'origen posseeix una magnetització uniforme al llarg de l'eix $z$, $\vec{M} = M\hat{k}$. El seu potencial vector magnètic $\vec{A}$ ve descrit en coordenades esfèriques per:

$$\vec{A}(r, \theta, \phi) = \frac{\mu_0 M}{3} r \sin\theta\,\hat{\phi} \quad (r < a); \qquad \vec{A}(r, \theta, \phi) = \frac{\mu_0 M a^3}{3 r^2} \sin\theta\,\hat{\phi} \quad (r > a)$$

a)

[1.0 punts] Demostreu que a l'interior de l'esfera ($r < a$), el camp magnètic $\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}$ és uniforme, de mòdul constant i paral·lel a la magnetització $\vec{M}$. Escriviu l'expressió vectorial de $\vec{B}$ en funció de $\mu_0$ i $\vec{M}$ (o de $\mu_0$, $M$ i $\hat{k}$):

$\vec{B} =$

b)

[1.5 punts] Calculeu el flux del camp magnètic generat a través d'una superfície esfèrica tancada de radi $R > a$ concèntrica a la partícula. Comenteu el resultat per a $R < a$ i justifiqueu si el camp és solenoïdal.

$\Phi_B =$

Exercici 4 (09/06/2011). Potencial escalar i teorema de Green

Sigui el camp vectorial definit al pla $\mathbb{R}^2$ per $\vec{f}(x, y) = (x^2 + y^2)\vec{i} + 2xy\vec{j}$.

a)

[1.0 punts] Trobeu el potencial escalar $\Phi(x, y)$ del qual es deriva el camp (prenent la constant d'integració $C = 0$).

b)

[0.75 punts] Calculeu la integral de línia de $\vec{f}$ sobre la corba $C: x = t, y = 2t^2$ per a $0 \le t \le 1$.

c)

[0.75 punts] Emprant el teorema de Green, calculeu la circulació de $\vec{f}$ al llarg del contorn tancat de la regió $R = \{(x, y): 0 \le x \le 1, 2x^2 \le y \le 2x\}$ en sentit antihorari, justificant el resultat obtingut.

Preguntes 1-5 (09/06/2011). Qüestionari conceptual V/F

Classifiqueu les següents afirmacions en vertaderes (V) o falses (F), acompanyant cadascuna de la seva justificació:

a.

Si $\mu(x, y)$ i $\lambda(x, y)$ són dos factors integrants diferents de l'equació $M\mathrm{d}x + N\mathrm{d}y = 0$, aleshores la suma $\mu(x, y) + \lambda(x, y)$ és també factor integrant de la mateixa equació.

Preguntes 1-5 (09/06/2011). Qüestionari conceptual V/F

Classifiqueu les següents afirmacions en vertaderes (V) o falses (F), acompanyant cadascuna de la seva justificació:

b.

Qualsevol equació diferencial lineal homogènia de segon ordre de la forma $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ es pot resoldre directament a partir de les arrels d'un polinomi característic associat.

Preguntes 1-5 (09/06/2011). Qüestionari conceptual V/F

Classifiqueu les següents afirmacions en vertaderes (V) o falses (F), acompanyant cadascuna de la seva justificació:

c.

L'ordre de convergència global del mètode de Runge-Kutta RK2 depèn de l'elecció de la posició dels punts d'avaluació intermedis.

V

F

Preguntes 1-5 (09/06/2011). Qüestionari conceptual V/F

Classifiqueu les següents afirmacions en vertaderes (V) o falses (F), acompanyant cadascuna de la seva justificació:

d. El valor numèric de la divergència d'un camp vectorial depèn del tipus de sistema de coordenades adoptat per al càlcul.

V

F

Preguntes 1-5 (09/06/2011). Qüestionari conceptual V/F

Classifiqueu les següents afirmacions en vertaderes (V) o falses (F), acompanyant cadascuna de la seva justificació:

e. Per a qualsevol camp vectorial del tipus $\vec{f}(\vec{r}) = f(r)\vec{r}$ a $\mathbb{R}^3$, la integral de línia entre dos punts $A$ i $B$ és estrictament independent del camí d'integració.

V

F

Una barra prismàtica homogènia de secció transversal uniforme $A$, longitud $L$ i densitat $\rho_0$ es deixa caure en posició vertical a l'interior d'un fluid de densitat $\rho = 2\rho_0$. El fluid exerceix un empenyiment segons el principi d'Arquimedes igual al pes del fluid desallotjat. Sigui $x(t)$ la longitud de barra submergida en cada instant.

a.

[1.0 punt] Establiu l'equació diferencial del moviment de la barra durant la fase d'immersió ($x \le L$).

b.

[1.0 punt] Calculeu la profunditat màxima assolida per la barra si toca la superfície líquida amb velocitat inicial nul·la.

c.

[0.5 punts] Prenent $L = 1.8\text{ m}$ i $g = 10\text{ m s}^{-2}$, trobeu el valor de la velocitat màxima d'immersió i la profunditat $x$ a la qual s'aconsegueix.

Exercici 2 (07/06/2012). Transformació a EDO lineal (2.5 punts)

a)

[1.0 punt] Demostreu que la transformació de variable dependent $z(x) = g(y)$ permet reduir l'equació diferencial general $g'(y)y' + p(x)g(y) = f(x)$ a una equació diferencial lineal completa de primer ordre.

b)

[1.5 punts] Mitjançant la propietat anterior, trobeu la solució general de l'equació $e^{y^2}\left(2yy' + \frac{2}{x}\right) = \frac{1}{x^2}$.

Exercici 3 (07/06/2012). Superfície el·lipsoïdal i circulació (2.5 punts)

Considerant l'el·lipsoide de revolució definit per $x^2 + y^2 + \frac{z^2}{2^2} = 1$:

a)

[1.0 punt] Trobeu el camp de vectors normals unitaris, $\hat{n}$, a la superfície d'aquest el·lipsoide.

b)

[1.0 punt] Calculeu la circulació del camp $\hat{n}$ al llarg de la corba tancada $C: x = \cos t, y = \sin t, z = 0$ amb $0 \le t \le 2\pi$.

c)

[0.5 punts] Raoneu quin ha de ser el valor de la integral de línia del camp $\hat{n}$ sobre qualsevol trajectòria continguda íntegrament sobre la superfície de l'el·lipsoide.

Exercici 4 (07/06/2012). Teorema de la divergència (2.5 punts)

Mitjançant el teorema de Gauss-Ostrogradski, calculeu el flux del camp vectorial $\vec{a} = 3x\vec{i} - 2y\vec{j} + 4z\vec{k}$ que travessa la superfície tancada delimitada pel paraboloide $z = x^2 + y^2$ ($0 \le z \le 1$), el con $z^2 = x^2 + y^2$ ($1 \le z \le 2$) i la tapa superior donada pel pla $z = 2$.

a)

b)

c)

Examen 7 de juny de 2012. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Indiqueu en cadascun dels enunciats si l'afirmació és VERTADERA (V) o FALSA (F), acompanyant la decisió d'una breu justificació:

a.

Donada una EDO de la forma $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ amb funcions contínues i diferenciables. Si $\mu(x, y)$ i $\lambda(x, y)$ en són dos factors integrants, aleshores la seva multiplicació $\mu(x, y) \cdot \lambda(x, y)$ és forçosament també un factor integrant de l'equació.

V

F

Examen 7 de juny de 2012. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Indiqueu en cadascun dels enunciats si l'afirmació és VERTADERA (V) o FALSA (F), acompanyant la decisió d'una breu justificació:

b. El conjunt de paràboles amb eix de simetria sobre l'eix OX i que passen per l'origen té com a equació diferencial associada $y' = \frac{y}{2x}$.

VERTADERA (V)

FALSA (F)

Examen 7 de juny de 2012. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Indiqueu en cadascun dels enunciats si l'afirmació és VERTADERA (V) o FALSA (F), acompanyant la decisió d'una breu justificació:

c. En integració numèrica d'equacions diferencials, el mètode d'Euler és d'aproximació i, en conseqüència, és incapaç de subministrar la solució exacta en els nodes sota cap circumstància.

VERTADERA (V)

FALSA (F)

Examen 7 de juny de 2012. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Indiqueu en cadascun dels enunciats si l'afirmació és VERTADERA (V) o FALSA (F), acompanyant la decisió d'una breu justificació:

d. Per a qualsevol camp escalar $\phi(\vec{r})$ definit a $\mathbb{R}^3$, el vector gradient $\vec{\nabla}\phi$ no depèn del sistema de coordenades adoptat (cilíndriques, esfèriques, etc.).

VERTADERA (V)

FALSA (F)

Examen 7 de juny de 2012. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Indiqueu en cadascun dels enunciats si l'afirmació és VERTADERA (V) o FALSA (F), acompanyant la decisió d'una breu justificació:

e. Considerant els camps vectorials $\vec{f}(\vec{r}) = z^2 \vec{i} + y^2 \vec{j} + x^2 \vec{k}$ i $\vec{g}(\vec{r}) = xy \vec{i} + x^2 \vec{j} + yz \vec{k}$ sobre una superfície tancada arbitrària, els fluxos de $\vec{f}$ i $\vec{g}$ a través seu són diferents.

VERTADERA (V)

FALSA (F)

Examen 6 de juny de 2013. Problema 1 (2,5 punts). Resolució d'una EDO mitjançant canvi de variable

Considereu l'equació diferencial:

$$(1 + y^2 e^{2x})y' + y = 0$$

a)

[1,0 punts] Apliqueu una transformació de la forma $y = u(x)e^{mx}$, amb $m$ una constant per determinar, i deduïu la nova equació per a $u(x)$. Escriviu el desenvolupament i l'equació resultant:

b)

[1,0 punts] Discutiu per a quins valors de la constant $m$ l'equació resultant esdevé de variables separables.

$m =$

c)

[0,5 punts] Emprant aquests valors de $m$, determineu la solució general de l'equació diferencial original.

Un mòbil d'1 kg de massa es projecta verticalment cap amunt amb una velocitat inicial de $3\text{ m/s}$.

a)

[1,0 punts] Suposant nul·la la resistència de l'aire, plantegeu l'equació diferencial que regeix el moviment de l'objecte i trobeu la solució particular. Quina és l'altura màxima assolida? (Preneu $g = 9{,}8\text{ m/s}^2$).

b)

[1,5 punts] Considereu ara que l'aire exerceix una força de fregament directament proporcional a la velocitat, amb constant de fricció $k_s = 0{,}01\text{ kg/s}$ (és a dir, $F_f = -k_s v$). Establiu la nova equació diferencial, trobeu-ne la solució particular i calculeu la cota màxima a la qual arribarà el cos.

Sigui el camp vectorial definit a $\mathbb{R}^3$: $\vec{a}(x,y,z) = (x + y + z)\hat{i} + x\hat{j} + x\hat{k}$

a)

[1,25 punts] Calculeu la integral de línia $\int_C \vec{a}\cdot d\vec{r}$ sobre la corba $C$ definida per la intersecció del cilindre parabòlic $x^2 = y$ i el pla $x + y + z = 0$, orientada des de l'origen $(0,0,0)$ fins al punt $(1,1,-2)$.

b)

[1,25 punts] Determineu si el camp és conservatiu. En cas afirmatiu, calculeu el seu potencial escalar $\phi(x,y,z)$ tal que $\vec{a} = \nabla\phi$ (amb $\phi(0,0,0)=0$) i comproveu el resultat de la integral de línia obtingut a l'apartat anterior fent ús d'aquest potencial.

Sí

No

Es considera la corba en l'espai donada per les equacions paramètriques: $x(t) = t,\quad y(t) = t^2,\quad z(t) = t^3$

a)

[1,25 punts] Determineu l'equació de la recta tangent a la corba en un punt genèric expressada en funció del paràmetre $t$. Indiqueu el vector tangent $\vec{r}'(t)$:

$($ $,$ $,$ $)$

b)

[1,25 punts] Trobeu tots els valors del paràmetre $a$ tals que la recta tangent a la corba traçada pel punt corresponent a $t = a$ passi pel punt extern $P(2,3,4)$.

Examen 6 de juny de 2013. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Classifiqueu cadascuna de les afirmacions següents com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu la resposta:

a.

En una ciutat amb una població constant de $P$ persones, la taxa temporal de variació del nombre de persones infectades $N(t)$ per una malaltia és proporcional al producte dels individus sans i dels malalts. L'equació que descriu la dinàmica és $\frac{dP}{dt} = KN(P - N)$.

VERTADERA (V)

FALSA (F)

Examen 6 de juny de 2013. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Classifiqueu cadascuna de les afirmacions següents com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu la resposta:

b.

Per a l'EDO $\frac{dy}{dx} + \frac{xy}{1+x} = 1 + x$, la funció $\mu(x, y) = \frac{e^x}{1+x}$ n'és un factor integrant.

VERTADERA (V)

FALSA (F)

Examen 6 de juny de 2013. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Classifiqueu cadascuna de les afirmacions següents com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu la resposta:

c.

Pel que fa a la integració numèrica d'EDO mitjançant mètodes de Runge-Kutta, RK4 és més precís que RK2 perquè RK4 avalua les derivades parcials de la funció fins al quart ordre, mentre que RK2 només ho fa fins al segon ordre.

VERTADERA (V)

FALSA (F)

Examen 6 de juny de 2013. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Classifiqueu cadascuna de les afirmacions següents com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu la resposta:

d.

Donada la funció escalar $f(x, y) = 2x + \frac{4y}{x^2}$, la seva derivada direccional en el punt $(1, -1)$ segons el vector unitari $\vec{s} = \frac{1}{\sqrt{13}}(2, -3)$ és exactament nul·la.

VERTADERA (V)

FALSA (F)

Examen 6 de juny de 2013. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Classifiqueu cadascuna de les afirmacions següents com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu la resposta:

e.

Per al camp vectorial a $\mathbb{R}^2$ donat per $\vec{f}(x, y) = x e^r \vec{i} + y e^r \vec{j}$ (on $r = \sqrt{x^2 + y^2}$), la circulació al llarg de qualsevol corba tancada és zero.

VERTADERA (V)

FALSA (F)

Una barca travessa un riu d'amplada $A$ amb una velocitat constant pròpia $v_c$ en sentit perpendicular al corrent, independentment de qualsevol força externa. Simultàniament, la barca és arrossegada pel corrent longitudinal del riu a causa d'una força proporcional a la seva massa $m$ i a la diferència entre la velocitat de l'aigua $v_r$ i la velocitat de la barca en aquesta direcció, amb una constant de proporcionalitat $k$. La barca salpa de l'origen de coordenades $(x, y) = (0, 0)$ en $t = 0$ amb velocitat inicial transversal nul·la en l'eix del riu ($\dot{x}(0) = 0$). L'eix $y$ mesura la distància perpendicular al riu i $x$ la distància en la direcció del corrent.

a.

[0.5 punts] Establiu i resoleu l'equació diferencial per a $y(t)$.

b.

[0.5 punts] Establiu l'equació diferencial que governa $x(t)$.

c.

[0.5 punts] Determineu l'expressió temporal de la velocitat $\dot{x}(t)$.

d.

[0.5 punts] Deduïu la posició longitudinal $x(t)$.

e.

[0.5 punts] Si $A = 200\text{ m}$, $v_c = 2\text{ m/s}$, $k = 1/100\text{ s}^{-1}$ i $v_r = 1\text{ m/s}$, calculeu les coordenades $(x, y)$ de la barca en el moment exacte d'arribar a l'altra riba (useu $1/e = 0.37$).

Es considera l'equació diferencial:

$$y' + y\cos x = \sin x\cos x$$

a)

[1,0 punts] Comproveu si és una equació diferencial exacta. Demostreu que admet un factor integrant de la forma $\mu = \mu(x)$ i trobeu-lo (sense resoldre l'equació encara).

És una equació exacta?

No

Sí

b)

[1,0 punts] Trobeu la solució general tractant-la com una equació lineal pel mètode de variació de les constants.

c)

[0,5 punts] Resoleu-la de nou fent servir el canvi de variable de Bernoulli $y = uv$, amb $u = u(x)$ i $v = v(x)$, triant $v(x)$ de manera que satisfaci l'equació homogènia associada.

Sigui el domini tancat limitat superiorment i inferiorment per les superfícies esfèriques $S_1$ i $S_2$, i lateralment per la superfície cònica $S_3$, definides per:$$S_1: x^2 + y^2 + z^2 = 1, \quad S_2: x^2 + y^2 + z^2 = 4, \quad S_3: x^2 + y^2 = z^2$$per a punts situats en el semi-espai $z > 0$.

a)

[0,5 punts] Feu un esquema gràfic de la regió tancada resultant.

b)

[0,5 punts] Expresseu en coordenades esfèriques el vector diferencial d'àrea $d\vec{S}$ per a cadascuna de les tres superfícies delimitadores (orientades cap a l'exterior del volum).

c)

[0,75 punts] Calculeu, emprant coordenades esfèriques, el flux sortint del camp vectorial $\vec{f}(\vec{r}) = kr\hat{r}$ a través de la superfície tancada anterior.

d)

[0,75 punts] Verifiqueu el resultat comprovant que es compleix el teorema de Gauss-Ostrogradski mitjançant la integral de volum pertinent. Indiqueu la divergència $\vec{\nabla}\cdot\vec{f}$ i comproveu la integral:

Es vol calcular el treball realitzat pel camp de forces:

$$\vec{f}(x, y, z) = (x^3 + 2y)\,\vec{i} + (y^2 + 4x)\,\vec{j}$$

en desplaçar una partícula al llarg de la línia tancada triangular que uneix successivament els punts $(2,0,0)$, $(0,2,0)$ i $(-1,0,0)$ en el pla $z = 0$.

a)

[0.75 punts] Calculeu el treball recorrent al teorema de Stokes (o teorema de Green al pla).

b)

[0.5 punts] Comproveu que el camp $\vec{f}_1(x, y, z) = (x^3 + 4y)\,\vec{i} + (y^2 + 4x)\,\vec{j}$ és conservatiu i determineu el seu potencial escalar $\phi(x,y)$.

c)

[0.25 punts] Descomponeu el camp original en la suma $\vec{f} = \vec{f}_1 + \vec{f}_2$ i identifiqueu $\vec{f}_2(x, y, z)$.

d)

[1.0 punts] Calculeu directament la integral de línia al llarg del contorn triangular per comprovar el valor del treball total obtingut a l'apartat a).

Examen 5 de juny de 2014. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Indiqueu per a cadascun dels enunciats si és VERTADER (V) o FALS (F) i raoneu la resposta:

a. En una colònia d'ocells de $N$ individus s'inicia una epidèmia tal que la taxa de mortalitat o decreixement és directament proporcional a la població amb paràmetre $k = 2\text{ dies}^{-1}$. La població s'estabilitza a la meitat de la població original.

VERTADER (V)

FALS (F)

Examen 5 de juny de 2014. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Indiqueu per a cadascun dels enunciats si és VERTADER (V) o FALS (F) i raoneu la resposta:

b. Donat que $y_1(t) = e^t$ i $y_2(t) = t e^t$ són solucions particulars de l'equació $y'' - 2y' + y = 0$, el Wronskià val $W(y_1, y_2) = e^{2t}$.

VERTADER (V)

FALS (F)

Examen 5 de juny de 2014. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Indiqueu per a cadascun dels enunciats si és VERTADER (V) o FALS (F) i raoneu la resposta:

c.

En la resolució numèrica d'equacions diferencials mitjançant esquemes de Runge-Kutta, l'ordre de convergència global depèn del pas d'integració $h$ utilitzat.

Examen 5 de juny de 2014. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Indiqueu per a cadascun dels enunciats si és VERTADER (V) o FALS (F) i raoneu la resposta:

d. Per a una funció escalar diferenciable $u = f(x, y, z)$ a $\mathbb{R}^3$, en qualsevol punt sempre és possible localitzar direccions en les quals la derivada direccional sigui zero.

Examen 5 de juny de 2014. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Indiqueu per a cadascun dels enunciats si és VERTADER (V) o FALS (F) i raoneu la resposta:

e.

Per a qualsevol terna de funcions escalars $f,g,h$, la integral de línia del camp $\vec{a}(\vec{r}) = f(x)\,\vec{i} + g(y)\,\vec{j} + h(z)\,\vec{k}$ entre dos punts no depèn de la trajectòria seguida.

Al conegut Diskworld la gravetat funciona lleugerament diferent: per a un coet que s'allunya del món pla, l'atracció gravitacional és directament proporcional a la massa del planeta $M$, a la massa del coet $m$ i a la distància al propi Diskworld, sempre que aquesta distància sigui prou gran comparada amb la seva mida.

a)

Escriviu l'equació diferencial que descriu el moviment del coet, $z(t)$, considerant un sistema de coordenades amb l'origen a la superfície i sentit positiu cap a l'espai exterior. Preneu com a constant de proporcionalitat $-G$ amb $G > 0$.

b)

Trobeu l'evolució de la velocitat del coet en funció de la distància $z$ respecte de Diskworld.

c)

Trobeu la posició del coet en funció del temps $t$.

d)

Calculeu la primera constant d'integració sabent que a una distància de $10^6\text{ km}$ el coet té una velocitat de $300\text{ km/s}$. El Sol de Diskworld és a $10^8\text{ km}$ de la superfície. Podrà arribar-hi el coet? (Dada: $GM = 16\cdot 10^{-8}\text{ s}^{-2}$).

Sí

No

Al conegut Diskworld la gravetat funciona lleugerament diferent: per a un coet que s'allunya del món pla, l'atracció gravitacional és directament proporcional a la massa del planeta $M$, a la massa del coet $m$ i a la distància al propi Diskworld, sempre que aquesta distància sigui prou gran comparada amb la seva mida.

e)

Abans d'enlairar-se, el sistema de llançament necessita acumular energia. Si el ritme d'acumulació és $E' = kE$ amb $k = 1\text{ s}^{-1}$, podem llançar el coet al cap de $5\text{ s}$ si cal un mínim de $100\text{ J}$? Feu servir el mètode d'Euler amb un pas $h = 1\text{ s}$, assumint que a l'inici hi havia $1\text{ J}$ d'energia.

Sí

No

Al conegut Diskworld la gravetat funciona lleugerament diferent: per a un coet que s'allunya del món pla, l'atracció gravitacional és directament proporcional a la massa del planeta $M$, a la massa del coet $m$ i a la distància al propi Diskworld, sempre que aquesta distància sigui prou gran comparada amb la seva mida.

Considereu el problema físic de la velocitat d'escapament d'un planeta:

a)

Formuleu l'equació diferencial del moviment radial d'un objecte puntual de massa $m$ llançat verticalment cap amunt amb velocitat inicial $v_0$ des de la superfície d'un planeta esfèric homogeni de massa $M$ i radi $R$ (menyspreant la resistència de l'atmosfera).

b)

Integreu aquesta equació per obtenir $v(r)$ i deduïu el valor mínim de $v_0$ que garanteix que el cos no caurà de nou sobre el planeta (velocitat d'escapament $v_e = \sqrt{2GM/R}$).

c)

Calculeu el valor numèric de $v_e$ per al planeta Terra emprant únicament: $g \simeq 9.81\text{ m/s}^2$ i el radi mitjà terrestre $R \simeq 6371\text{ km}$.

Sigui el camp vectorial definit a $\mathbb{R}^3$ per a $z > 0$:$$\vec{a}(x, y, z) = \left(3y + \frac{8x}{z}\right)\vec{i} + 3x\vec{j} - \frac{4x^2}{z^2}\vec{k}$$Calculeu la seva integral de línia al llarg de:

a)

La corba paramètrica $x = t$, $y = t^2$, $z = 1$ amb $0 \le t \le 1$ en el sentit de $t$ creixent. [1,0 punts]

b)

El segment rectilini que connecta el punt $P(0,0,1)$ amb el punt $Q(1,1,1)$. [1,0 punts]

c)

A partir de les respostes obtingudes, justifiqueu quin resultat s'obtindrà si s'integra sobre qualsevol altra corba regular que uneixi $P$ i $Q$. [0,5 punts]

Fent ús del teorema de Gauss-Ostrogradski, determineu el flux del camp vectorial:$$\vec{a} = 3x\vec{i} - 2y\vec{j} + 4z\vec{k}$$a través de la superfície frontera del sòlid tancat comprès entre el paraboloide $z = x^2 + y^2$ i els plans horitzontals $z = 0$ i $z = 1$. [2,5 punts]

Determineu el valor de veritat ( V si és vertadera, F si és falsa) i raoneu la resposta:

a)

L'equació diferencial $(x + y + 1)dy = (x - y + 1)dx$ es pot transformar en una equació de variables separades.

b)

L'EDO $y' = e^{y'/y}$ no és resoluble perquè resulta impossible aïllar explícitament $y'$.

Determineu el valor de veritat ( V si és vertadera, F si és falsa) i raoneu la resposta:

c)

Pel que fa a la integració numèrica d'EDO, el mètode de Runge-Kutta RK2 és generalment més precís que el mètode d'Euler perquè Euler utilitza un pas $h$ i RK2 utilitza un pas $h/2$.

Determineu el valor de veritat ( V si és vertadera, F si és falsa) i raoneu la resposta:

d.

En qualsevol punt del domini d'una funció escalar $u = f(x, y, z)$, el vector gradient $\vec{\nabla} f$ marca la direcció segons la qual la derivada direccional assoleix el seu valor màxim.

e.

Donat un camp vectorial qualsevol $\vec{f}(\vec{r})$ a $\mathbb{R}^3$, la divergència del seu rotacional és sempre nul·la.

Examen 9 de setembre de 2011. Problema 1 (2,5 punts). Model d'acumulació de residus radioactius

Una instal·lació nuclear aboca residus radioactius al seu entorn a un ritme constant de $10\text{ g/any}$. Alhora, aquests elements es desintegren i desapareixen de forma natural a una taxa directament proporcional a la quantitat total acumulada, sent $l > 0$ la constant de proporcionalitat.

a)

[0.5 punts] Formuleu l'equació diferencial que governa la massa de residus en el temps, designant per $y(t)$ la quantitat de material radioactiu en grams al temps $t$ (en anys):

$\frac{dy}{dt} =$

b)

[1.0 punts] Obtingueu la solució general de l'equació diferencial (en funció de $t$, $l$ i una constant d'integració $C$):

c)

[0.5 punts] Calculeu la quantitat de material radioactiu present al cap de $t$ anys si a l'instant de posada en funcionament ja hi havia una càrrega inicial de $0.2\text{ g}$:

d)

[0.5 punts] Trobeu la quantitat límit de material que s'acumularà en el medi ambient a molt llarg termini ($t \to \infty$):

Examen 9 de setembre de 2011. Problema 2 (2,5 punts). Teorema d'Stokes i circulació del vector de posició

Sigui el camp vectorial de posició a $\mathbb{R}^3$ donat per $\vec{f}(\vec{r}) = \vec{r} = x\,\hat{i} + y\,\hat{j} + z\,\hat{k}$.

a)

[1.5 punts] Calculeu, mitjançant el teorema de Stokes, la circulació de $\vec{r}$ al llarg de la corba tancada intersecció del con $x^2 + y^2 = z^2$ i del paraboloide $x^2 + y^2 = 6 - z$, amb la condició $z \ge 0$.

b)

[1.0 punts] Fent servir coordenades cilíndriques ($\vec{r} = \rho\,\hat{\rho} + z\,\hat{z}$), avalueu directament la circulació de $\vec{f}$ al llarg de la mateixa corba. Quin en seria el resultat emprant coordenades esfèriques?

Examen 9 de setembre de 2011. Problema 3 (2,5 punts). Caràcter conservatiu i circulació d'un camp

Es considera el camp vectorial a $\mathbb{R}^3$:$$\vec{a}(x, y, z) = yz(2x + y)\,\hat{i} + xz(x + 2y)\,\hat{j} + xy(x + y)\,\hat{k}$$

a)

[0.5 punts] Demostreu que $\vec{a}$ és un camp conservatiu.

Raoneu la conservativitat comprovant el rotacional del camp.

b)

[1.0 punts] Calculeu el potencial escalar del qual deriva.

c)

[1.0 punts] Calculeu la integral de línia $\int_C \vec{a} \cdot d\vec{r}$ sobre la corba parametritzada per:$$\vec{r}(t) = (1 + t)\,\hat{i} + (1 + 2t^2)\,\hat{j} + (1 + 3t^3)\,\hat{k}, \quad 0 \le t \le 1$$

Examen 9 de setembre de 2011. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Classifiqueu les proposicions com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu-les breument:

Classifiqueu les proposicions com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu-les:

a)

L'equació diferencial $y' = \frac{1}{x e^{-y} - 3\tan y}$ es pot resoldre com una equació lineal completa.

V

F

b)

L'EDO $y' = x\sin(y')$ no admet resolució ja que no és factible aïllar explícitament $y'$.

V

F

Examen 9 de setembre de 2011. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Classifiqueu les proposicions com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu-les breument:

Classifiqueu la proposició com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu-la breument:

c)

Els esquemes de Runge-Kutta requereixen calcular les derivades parcials de la funció pas a pas a cada node d'integració.

V

F

Examen 9 de setembre de 2011. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Classifiqueu les proposicions com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu-les breument:

d. Per a qualsevol corba plana continguda a $\mathbb{R}^3$, el radi de torsió és infinit a tots els seus punts.

VERTADERA (V)

FALSA (F)

Examen 9 de setembre de 2011. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Classifiqueu les proposicions com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu-les breument:

e. Per al camp vectorial $\vec{f}(\vec{r}) = z^2 \,\hat{i} + y^2 \,\hat{j} + x^2 \,\hat{k}$ de $\mathbb{R}^3$, la integral de línia entre dos punts no depèn de la trajectòria escollida.

VERTADERA (V)

FALSA (F)

Examen 4 de setembre de 2012. Problema 1 (2,5 punts). Propagació epidèmica en una població universitària

Un estudiant infectat pel virus de la grip arriba a un campus universitari aïllat amb un total de $N = 1000$ estudiants. Suposant que la velocitat de contagi és directament proporcional al producte del nombre d'individus ja contagiats pel nombre d'individus que encara romanen sans:

a)

[0.5 punts] Formuleu l'equació diferencial que relaciona el nombre d'estudiants infectats $P(t)$ amb el temps $t$, assumint que la població total és estrictament constant.

b)

[1.5 punts] Determineu la solució particular de l'equació per a una constant de contagi $K$ genèrica, tenint en compte que a l'instant inicial hi ha un únic infectat ($P(0) = 1$).

c)

[0.5 punts] Calculeu en quin instant de temps la malaltia haurà afectat el 10% de la població universitària si la constant val $K = 10^{-3}\text{ estudiants}^{-1}\text{dia}^{-1}$ (deixeu el resultat indicat en forma logarítmica).

Examen 4 de setembre de 2012. Problema 2 (2,5 punts). Oscil·lador forçat en règim de ressonància

a)

[0.75 punts] Formuleu l'equació del moviment per a un oscil·lador mecànic format per una massa $m$ unida a una molla de constant elàstica $k$ (sense esmorteïment), sotmesa a una força exterior sinusoïdal paral·lela a la molla d'amplitud per unitat de massa $A_0$ i freqüència angular $w$. Quin tipus d'equació diferencial és?

b)

[1.75 punts] Demostreu que en el cas límit en què la freqüència de la força externa coincideix amb la freqüència pròpia natural de l'oscil·lador, $w = w_0 = \sqrt{k/m}$, el moviment resultant consisteix en la superposició d'una oscil·lació harmònica pura i d'una oscil·lació amb amplitud que creix de manera lineal amb el temps. Escriviu l'expressió explícita de $x(t)$ per a les condicions inicials $x(0) = x_0$ i $\dot{x}(0) = 0$.

Examen 4 de setembre de 2012. Problema 3 (2,5 punts). Flux a través d'un paraboloide el·líptic

Calculeu el flux del camp vectorial $\vec{F}(x,y,z) = (x, y, 2z)$ a través de la superfície tancada que delimita el volum:$$V = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid 0 \le z \le 4 - 2x^2 - 2y^2\}$$

a)

[1.5 punts] Utilitzant el teorema de Gauss.

b)

[1.0 punts] Directament mitjançant les integrals de superfície sobre les cares que tanquen el volum.

Examen 4 de setembre de 2012. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Classifiqueu cadascuna de les afirmacions com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu-la:

a)

Donada l'EDO $y' = \log\left(\frac{5x+y+2}{15x+3y-6}\right)$, es pot reduir a una equació de variables separables.

VERTADERA (V)

FALSA (F)

b)

Per a l'equació diferencial $y' = e^{(y'+2)/y}$, no és possible trobar-ne la solució ja que $y'$ no es pot aïllar explícitament.

VERTADERA (V)

FALSA (F)

Examen 4 de setembre de 2012. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Classifiqueu cadascuna de les afirmacions com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu-la:

c)

En la resolució numèrica d'EDO per mètodes de Runge-Kutta, l'ordre global de convergència mai no pot superar 4 (el màxim absolut és RK4).

VERTADERA (V)

FALSA (F)

Examen 4 de setembre de 2012. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Classifiqueu cadascuna de les afirmacions com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu-la:

d.

Per a qualsevol corba plana a $\mathbb{R}^3$, la seva torsió és constant en tots els punts.

VERTADERA (V)

FALSA (F)

Examen 4 de setembre de 2012. Preguntes 1-5 (Qüestions de teoria)

Classifiqueu cadascuna de les afirmacions com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu-la:

e.

Per a qualsevol camp vectorial a $\mathbb{R}^3$ del tipus newtonià $\vec{f}(\vec{r}) = \frac{k}{r^3}\vec{r}$, la integral de línia entre dos punts qualsevol A i B no depèn del camí utilitzat.

VERTADERA (V)

FALSA (F)

Les anomenades equacions de Clairaut tenen l'estructura canònica:

$$y = x y' + f(y')$$

a.

[1.0 punts] Demostreu, emprant la transformació $y' = p$ i diferenciant ambdós membres respecte de $x$, que la solució general és una família de línies rectes de la forma $y = C x + f(C)$, essent $C$ una constant arbitrària.