Problema 1 (03/09/2013) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

a. [1.0 punts] Demostreu, emprant la transformació $y' = p$ i diferenciant ambdós membres respecte de $x$, que la solució general és una família de línies rectes de la forma $y = Cx + f(C)$, essent $C$ una constant arbitrària.

Solución: Substituint $y' = p$: $y = xp + f(p)$. Derivant respecte de $x$: $y' = p = p + x\frac{dp}{dx} + f'(p)\frac{dp}{dx} \Rightarrow \frac{dp}{dx}[x + f'(p)] = 0$. La possibilitat $\frac{dp}{dx} = 0 \Rightarrow p = C$ dóna $y = Cx + f(C)$.

b. [0.5 punts] Trobeu la família de solucions rectilínies associada a l'equació de Clairaut $y = xy' + y'^2$.

Solución: $y = Cx + C^2$

c. [1.0 punts] Donada una família de corbes $F(x, y, p) = 0$ parametritzada per $p$, la seva corba envolvent s'obté eliminant $p$ entre $F(x, y, p) = 0$ i $\frac{\partial F}{\partial p} = 0$. Determineu l'envolvent (solució singular) corresponent a l'equació de l'apartat anterior.

Solución: $y = -\frac{x^2}{4}$ / $x^2 + 4y = 0$