Problema 1 (09/09/2011) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Examen 9 de setembre de 2011. Problema 1 (2,5 punts). Model d'acumulació de residus radioactius

Una instal·lació nuclear aboca residus radioactius al seu entorn a un ritme constant de $10\text{ g/any}$. Alhora, aquests elements es desintegren i desapareixen de forma natural a una taxa directament proporcional a la quantitat total acumulada, sent $l > 0$ la constant de proporcionalitat.

a)

[0.5 punts] Formuleu l'equació diferencial que governa la massa de residus en el temps, designant per $y(t)$ la quantitat de material radioactiu en grams al temps $t$ (en anys):

$\frac{dy}{dt} =$

b)

[1.0 punts] Obtingueu la solució general de l'equació diferencial (en funció de $t$, $l$ i una constant d'integració $C$):

c)

[0.5 punts] Calculeu la quantitat de material radioactiu present al cap de $t$ anys si a l'instant de posada en funcionament ja hi havia una càrrega inicial de $0.2\text{ g}$:

d)

[0.5 punts] Trobeu la quantitat límit de material que s'acumularà en el medi ambient a molt llarg termini ($t \to \infty$):