Exámenes de Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010
El examen de Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial de la UB (Grado en Física) de 2010 (Recopilatori d'exàmens d'Equacions Diferencials i Càlcul Vectorial (Part 1)), con 126 problemas resueltos. Entran temas como Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució. Practícalos con corrección al momento, pistas en cada apartado y la solución paso a paso.
Recopilatori d'exàmens d'Equacions Diferencials i Càlcul Vectorial (Part 1) (2010)
Temas del examen: Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució · Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre · Resolució numèrica d'equacions diferencials · Equacions diferencials d'ordre superior · Camps escalars i operadors diferencials · Coordenades curvilínies ortogonals · Geometria diferencial de corbes · Integrals de línia i camps conservatius · Superfícies i flux d'un camp vectorial · Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss
- Exercici 1 (18/01/2011) · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Donada l'EDO yf(xy)dx + xg(xy)dy = 0 amb f(u) ≠ g(u), demostrar que μ(x,y) = 1/(xy[f(xy) - g(xy)]) és factor integrant i trobar la solució general de 2xy^2 dx + (3x^2y - 4x) dy = 0. - Exercici 2 (18/01/2011) · Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre
Estudi del moviment d'una cadena homogènia sobre una teulada d'angle α: deduir l'equació del moviment ÿ, trobar la velocitat v(y) per a α = 30° amb repòs inicial, i calcular el temps per a A = 0.5 m. - Exercici 3 (18/01/2011) · Integrals de línia i camps conservatius
Calcular la circulació del camp vectorial a = x^2 i + y^2 j + z^2 k al llarg d'una corba paramètrica i d'un segment rectilini entre (0,0,0) i (1,1,1). Discutir si la coincidència permet afirmar que… - Exercici 4 (18/01/2011) · Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss
Comprovar el teorema de Gauss-Ostrogradski per al camp f = x i + y j + z k en una esfera de radi R: a) flux directe a través de la superfície, b) integral de la divergència en el volum interior. - Ejercicio 5.a - Primer ordre · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Indiqueu si l'afirmació és vertadera (V) o falsa (F), justificant la resposta: L'equació diferencial y' = 1 / (x sin^2(y) + 3 cos(y) x^3) es pot resoldre transformant-la en una equació de Bernoulli. - Ejercicio 5.b - Ordre superior · Equacions diferencials d'ordre superior
Indiqueu si l'afirmació és vertadera (V) o falsa (F), justificant la resposta: 'Si y_1 i y_2 són dues solucions particulars qualssevol d'una equació diferencial lineal homogènia y'' + py' + qy = 0,… - Ejercicio 5.c - Resolució numèrica · Resolució numèrica d'equacions diferencials
Preguntes 1-5 (18/01/2011). Qüestionari conceptual V/F. Afirmació c: 'En la integració numèrica d'EDOs mitjançant mètodes de Runge-Kutta, l'ordre global del mètode ha de ser obligatòriament un nombre… - Ejercicio 5.d - Coordenades curvilínies · Coordenades curvilínies ortogonals
Indiqueu si és vertadera o falsa l'afirmació: 'Per a qualsevol camp escalar phi(r) a R^3, el valor intrínsec del seu laplacià és independent del sistema de coordenades adoptat', justificant la… - Ejercicio 5.e - Teoremes d'integració · Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss
Pregunta 5.e: Indiqueu si l'afirmació següent és vertadera (V) o falsa (F), justificant la resposta: «Si la circulació d'un camp vectorial sobre una trajectòria plana tancada és nul·la, el rotacional… - Exercici 1 (17/01/2012) · Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre
Model d'expansió d'un rumor amb EDO logística: plantejament de l'equació dN/dt = kN(M-N) amb M = 15000, N(0) = 5000 i N'(0) = 1000; solució general i particular; càlcul del temps perquè arribi a 5/6… - Exercici 2 (17/01/2012) · Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre
Trobeu l'equació de la família de corbes ortogonals a la família de circumferències x^2 + y^2 = 2ax. - Exercici 3 (17/01/2012) · Camps escalars i operadors diferencials
Càlcul de la força associada al potencial de Yukawa, flux a través d'una esfera de radi a, i comprovació que el laplacià compleix nabla^2 U = alpha^2 U. - Exercici 4 (17/01/2012) · Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss
Verificació del teorema de Green al pla per al camp a(x,y) = (y-x)i + (2x-y)j integrant sobre la paràbola y=x^2 i la recta y=x, i mitjançant la integral doble. - Ejercicio 10.a - Primer ordre · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Valoreu com a vertadera (V) o falsa (F), justificant breument el resultat: a. L'equació diferencial (t² + 1)y' + ty - sin t = 0 és una equació diferencial exacta. - Ejercicio 10.b - Ordre superior · Equacions diferencials d'ordre superior
Qüestió V/F: Sabent que y_1(t) = e^t i y_2(t) = t*e^t són solucions particulars de y'' - 2y' + y = 0, el wronskià d'aquestes funcions val W(y_1, y_2) = e^(2t). Justifiqueu breument el resultat. - Ejercicio 10.c - Resolució numèrica · Resolució numèrica d'equacions diferencials
Qüestió V/F: En la resolució numèrica d'EDOs, l'esquema RK4 és generalment més exacte que el RK2 pel fet que RK2 utilitza el pas d'avaluació h/2 mentre que RK4 fa servir el pas h/6. Justifiqueu… - Ejercicio 10.d - Geometria de corbes · Geometria diferencial de corbes
Qüestió V/F: La corba plana donada per r(t) = a*cos(t) i + a*sin(t) j presenta un radi de curvatura constant. Justifiqueu breument el resultat. - Ejercicio 10.e - Teoremes d'integració · Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss
Qüestió V/F: Donat el camp f(r) = z^2 i + y^2 j + x^2 k, el seu flux a través de qualsevol superfície tancada a l'espai és necessàriament nul. Justifiqueu breument el resultat. - Exercici 1 (21/01/2013) · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Es considera l'equació diferencial de Riccati 2x^2 y' = (x - 1)(y^2 - x^2) + 2xy. a) Verifiqueu que y = x és solució particular. b) Proveu que el canvi y = x + 1/v la redueix a una equació lineal en… - Exercici 2 (21/01/2013) · Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre
Exercici 2 (21/01/2013). Caiguda lliure d'un paracaigudista amb resistència de l'aire proporcional a la velocitat. Es demana establir l'equació diferencial del moviment, trobar v(t), trobar r(t),… - Exercici 3.a-b (21/01/2013) - Gradient · Camps escalars i operadors diferencials
Càlcul de la direcció de màxim pendent mitjançant el gradient de la funció d'altitud h(x,y) en el punt (2,1) i càlcul del pendent del terreny al llarg de la trajectòria de la carretera en aquest… - Exercici 3.c (21/01/2013) - Curvatura · Geometria diferencial de corbes
Càlcul del radi de curvatura de la corba tridimensional r(t) = (2t, t², 2t²) al punt corresponent a t = 1. - Exercici 4 (21/01/2013) · Integrals de línia i camps conservatius
Esbrineu si el camp vectorial definit a R3 per a(x, y, z) = e^x sin(y) i + e^x cos(y) j + k és conservatiu i, si ho és, trobeu la seva funció potencial. - Ejercicio 15.a-b - Primer ordre · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Classifiqueu cadascun dels enunciats en vertader (V) o fals (F), justificant breument la tria: a. Per a una equació diferencial de primer ordre y' = f(x), si y1(x) i y2(x) són solucions particulars… - Ejercicio 15.c - Resolució numèrica · Resolució numèrica d'equacions diferencials
Determinar si l'afirmació sobre l'aplicabilitat del mètode de Runge-Kutta d'ordre 2 (RK2) a equacions diferencials ordinàries amb solució general analítica coneguda és vertadera o falsa. - Ejercicio 15.d - Geometria de corbes · Geometria diferencial de corbes
Determinar si la següent afirmació és vertadera o falsa: «La torsió d'una corba expressada per r(t) = f(t)i + g(t)j s'anul·la de manera idèntica a tots els punts.» - Ejercicio 15.e - Integrals de línia · Integrals de línia i camps conservatius
Determinar si és vertadera o falsa la proposició: «Per a qualsevol corba tancada a ℝ³, la circulació dels camps f⃗ = x²i⃗ + y²j⃗ + z²k⃗ i g⃗ = 2xi⃗ + 2yj⃗ + 2zk⃗ té el mateix valor». - Exercici 1 (20/01/2014) · Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre
Trobeu l'equació de la família de corbes que passen pel punt (3, 1) complint la propietat que el segment de la recta tangent comprès entre el punt de contacte i l'eix d'abscisses queda dividit… - Exercici 2 (20/01/2014) · Equacions diferencials d'ordre superior
Es considera l'equació diferencial no lineal de segon ordre x^2 y y'' = (y - x y')^2. Reducció d'ordre mitjançant y = exp(int z dx) a una EDO lineal de primer ordre i resolució per trobar y(x). - Exercici 3 (20/01/2014) · Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss
Es vol determinar l'àrea A del recinte del pla XY fitat per y = 3 sin x, y = sin x i x = pi/2 mitjançant el teorema de Green comprovant les integrals de línia al llarg del contorn. - Exercici 4 (20/01/2014) · Integrals de línia i camps conservatius
Donat el camp vectorial A = (4xy - 3x^2 z^2)i + 2x^2 j - 2x^3 z k definit a R^3: a) Demostreu que la integral de línia és independent de la trajectòria. b) Justifiqueu l'existència d'un potencial… - Ejercicio 20.a - Primer ordre · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Classifiqueu l'afirmació en vertadera (V) o falsa (F), aportant una breu justificació: a. La funció μ(x) = e^(x - ln(1+x)) és un factor integrant de l'equació diferencial y' + (xy)/(1+x) - x = 1. - Ejercicio 20.b - Ordre superior · Equacions diferencials d'ordre superior
Classifiqueu com a vertadera o falsa l'afirmació: «En un oscil·lador harmònic esmorteït i sotmès a una força externa, l'equació del moviment és una equació diferencial lineal homogènia del tipus y''… - Ejercicio 20.c - Resolució numèrica · Resolució numèrica d'equacions diferencials
Classifiqueu com a vertadera o falsa l'afirmació sobre si el mètode RK4 és exactament 4 vegades més precís que el d'Euler, i justifiqueu la resposta. - Ejercicio 20.d - Geometria de corbes · Geometria diferencial de corbes
Classifiqueu com a vertadera (V) o falsa (F), amb breu justificació, l'afirmació: La corba espacial r(t) = 2 cos(t) i + 3 sin(t) j + 4 k té una torsió nul·la a tots els punts. - Ejercicio 20.e - Teoremes d'integració · Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss
Classifiqueu com a vertadera (V) o falsa (F) i aporteu una breu justificació: Per a qualsevol camp vectorial continu f(r) a R^3, el flux a través d'una superfície semiesfèrica oberta S coincideix amb… - Exercici 1 (19/01/2015) · Equacions diferencials d'ordre superior
Es considera l'EDO lineal de tercer ordre x y''' - 2 y'' = 0. a) Determineu la solució general. b) Raoneu si és possible trobar una solució particular no trivial que verifiqui y(0) = 0. - Exercici 2 (19/01/2015) · Integrals de línia i camps conservatius
Sigui el camp vectorial E = (x + 2y + az) i + (bx - 3y - z) j + (4x + cy + 2z) k. a) Trobeu a, b, c perquè sigui conservatiu. b) Trobeu la funció potencial. c) Calculeu la circulació d'origen (0,0,0)… - Exercici 3 (19/01/2015) · Coordenades curvilínies ortogonals
A partir de l'equació de Poisson nabla^2 Phi = 4 pi G rho amb g = -nabla Phi, deduïu l'acceleració de la gravetat g a la superfície d'una estrella esfèrica de radi R i massa total M amb simetria… - Exercici 4 (19/01/2015) · Superfícies i flux d'un camp vectorial
Exercici 4 (19/01/2015). Flux de camp en cilíndriques. Donat el camp expressat en coordenades cilíndriques F(ρ, ϕ, z) = (1/ρ) ρ̂ i la superfície cilíndrica S definida per x² + y² = a² amb 0 ≤ z ≤ a:… - Ejercicio 25.a - Primer ordre · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Indiqueu la veracitat (V o F) i justifiqueu: Per a una equació diferencial de la forma (y')^2 = f(x), si y_1(x) i y_2(x) són solucions particulars linealment independents, pot donar-se algun valor de… - Ejercicio 25.b - Ordre superior · Equacions diferencials d'ordre superior
Indiqueu la veracitat (V o F) de l'afirmació justificant-la: La solució general de l'equació diferencial y'' + y' + y = e^x ve donada per y(x) = e^(-x/2)(C1 cos(sqrt(3)/2 x) + C2 sin(sqrt(3)/2 x)) +… - Ejercicio 25.c - Geometria de corbes · Geometria diferencial de corbes
Determinar si és vertadera o falsa l'afirmació: «Si una corba no és plana, la seva torsió és necessàriament diferent de zero a tots i cadascun dels seus punts», justificant la resposta. - Ejercicio 25.d - Camps i operadors · Camps escalars i operadors diferencials
Indiqueu la veracitat (V o F) de l'afirmació: «Si en un punt de l'espai la divergència d'un camp és nul·la, el seu rotacional en aquest mateix punt també ho és necessàriament», justificant la… - Ejercicio 25.e - Integrals de línia · Integrals de línia i camps conservatius
Determinar la veracitat (V o F) de l'afirmació sobre si la circulació al llarg de la circumferència unitària x² + y² = 1 dels camps plans f = xy i + x²y² j i g = x(y+1) i + y²(x²+1) j és idèntica, i… - Exercici 1 (28/06/2010) · Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre
Un tub rectilini estret de longitud 4a gira horitzontalment amb velocitat constant ω al voltant del seu centre. a) Formuleu l'EDO del moviment sense fregament i demostreu que r(t) = a cosh(ωt) amb… - Exercici 2 (28/06/2010) · Resolució numèrica d'equacions diferencials
PVI y' = -2x - y amb y(0) = -1. a) Aproximeu y(0.5) per Euler amb h = 0.1. b) Aproximeu y(0.5) per RK2 amb h = 0.1. c) Raoneu precisió i comproveu-ho amb la solució analítica exacta per a y(0.5). - Exercici 3 (28/06/2010) · Integrals de línia i camps conservatius
Avalueu la integral de línia del camp vectorial a = (2y - z^2) i + e^(y/z) j + x^2 k al llarg de la trajectòria x = t, y = t^3, z = t^2 per a 0 <= t <= 1. - Exercici 4 (28/06/2010) · Coordenades curvilínies ortogonals
Considerant el camp vectorial donat en coordenades cilíndriques per a = (z^2 / phi) u_rho - (z^2 / phi^2) u_phi + (2*rho*z / phi) u_z, comproveu que és conservatiu calculant el rotacional i trobeu el… - Ejercicio 30.a-b - Primer ordre · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Preguntes V/F: a) L'equació y' = ((3x+2y+2)/(-6x-4y+3))^2 es pot transformar en variables separades. b) Per a qualsevol equació diferencial M dx + N dy = 0, sempre existeix un factor integrant… - Ejercicio 30.c - Resolució numèrica · Resolució numèrica d'equacions diferencials
Qüestió V/F: L'esquema de Runge-Kutta d'ordre 2 (RK2) no és únic; existeixen infinits conjunts de coeficients vàlids que produeixen mètodes d'ordre global 2. - Ejercicio 30.d - Integrals de línia · Integrals de línia i camps conservatius
Qüestió V/F: Un camp vectorial a R³ de la forma f(r) r⃗ és necessàriament conservatiu. - Ejercicio 30.e - Teoremes d'integració · Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss
Qüestió V/F: Si el flux net d'un camp a través d'una determinada superfície tancada és zero, la divergència ha de ser nul·la a tots els punts del volum englobat. - Exercici 1 (09/06/2011) · Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre
Model tumoral de Gompertz: formular l'EDO del model dp/dt = K_1 p [1 + K_2 ln(p)], deduir la solució analítica p(t) per separació de variables i estimar la població al cap de 4 setmanes amb el mètode… - Exercici 2 (09/06/2011) · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Verificar que l'EDO (y ln y - e^(-xy)) dx + (1/y + x ln y) dy = 0 no és exacta, determinar quin dels factors integrants proposats (ln mu = xy) la fa exacta i trobar la solució general e^(xy) ln y - x… - Exercici 3 (09/06/2011) · Coordenades curvilínies ortogonals
Exercici 3 (09/06/2011). Donat el potencial vector magnètic A(r, θ, φ) d'una esfera magnètica uniformement magnetitzada, calcular el camp B a l'interior demostrant que és uniforme i paral·lel a M, i… - Exercici 4 (09/06/2011) · Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss
Exercici 4 (09/06/2011). Donat el camp f(x,y) = (x^2+y^2)i + 2xy j, trobeu el potencial escalar Phi(x,y), la integral de línia sobre la corba C, i la circulació al llarg del contorn tancat de la… - Ejercicio 35.a - Primer ordre · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Classifiqueu com a vertadera o falsa l'afirmació: si μ(x, y) i λ(x, y) són dos factors integrants diferents de l'equació M dx + N dy = 0, aleshores la suma μ(x, y) + λ(x, y) és també factor integrant… - Ejercicio 35.b - Ordre superior · Equacions diferencials d'ordre superior
Classifiqueu com a vertadera o falsa l'afirmació: qualsevol equació diferencial lineal homogènia de segon ordre de la forma y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 es pot resoldre directament a partir de les arrels… - Ejercicio 35.c - Resolució numèrica · Resolució numèrica d'equacions diferencials
Determinar si és vertadera o falsa l'afirmació: «L'ordre de convergència global del mètode de Runge-Kutta RK2 depèn de l'elecció de la posició dels punts d'avaluació intermedis», acompanyant-la de la… - Ejercicio 35.d - Coordenades curvilínies · Coordenades curvilínies ortogonals
Classifiqueu com a vertadera o falsa l'afirmació: 'El valor numèric de la divergència d'un camp vectorial depèn del tipus de sistema de coordenades adoptat per al càlcul.' Justifiqueu la resposta. - Ejercicio 35.e - Integrals de línia · Integrals de línia i camps conservatius
Classifiqueu com a vertadera o falsa l'afirmació: 'Per a qualsevol camp vectorial del tipus f(r) r a R^3, la integral de línia entre dos punts A i B és estrictament independent del camí… - Exercici 1 (07/06/2012) · Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre
Estudi de la dinàmica d'immersió vertical d'una barra prismàtica homogènia de densitat ρ0 en un fluid de densitat 2ρ0: a) Establir l'equació diferencial del moviment. b) Trobar la màxima profunditat… - Exercici 2 (07/06/2012) · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Demostreu que la transformació z(x) = g(y) redueix g'(y)y' + p(x)g(y) = f(x) a una EDO lineal i trobeu la solució de e^(y^2)(2yy' + 2/x) = 1/x^2. - Exercici 3 (07/06/2012) · Superfícies i flux d'un camp vectorial
Trobeu el vector normal unitari a x^2+y^2+z^2/4=1, calculeu la circulació al llarg de x=cos t, y=sin t, z=0 i raoneu la circulació per a qualsevol corba continguda a la superfície. - Exercici 4 (07/06/2012) · Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss
Mitjançant el teorema de Gauss-Ostrogradski, calculeu el flux del camp a = (3x, -2y, 4z) a través de la superfície delimitada per z = x^2+y^2 (0<=z<=1), z^2 = x^2+y^2 (1<=z<=2) i z = 2. - Ejercicio 40.a - Primer ordre · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Indiqueu si l'afirmació és V o F amb breu justificació: si mu(x,y) i lambda(x,y) són factors integrants de M dx + N dy = 0, aleshores mu*lambda és forçosament factor integrant. - Ejercicio 40.b - Modelització · Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre
Indiqueu si és vertadera o falsa l'afirmació: El conjunt de paràboles amb eix de simetria sobre l'eix OX i que passen per l'origen té com a equació diferencial associada y' = y / (2x). - Ejercicio 40.c - Resolució numèrica · Resolució numèrica d'equacions diferencials
Indiqueu si és vertadera o falsa l'afirmació: En integració numèrica d'equacions diferencials, el mètode d'Euler és d'aproximació i, en conseqüència, és incapaç de subministrar la solució exacta en… - Ejercicio 40.d - Coordenades curvilínies · Coordenades curvilínies ortogonals
Indiqueu si és vertadera o falsa l'afirmació: Per a qualsevol camp escalar phi(r) definit a R^3, el vector gradient no depèn del sistema de coordenades adoptat (cilíndriques, esfèriques, etc.). - Ejercicio 40.e - Teoremes d'integració · Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss
Indiqueu si és vertadera o falsa l'afirmació: Considerant els camps vectorials f(r) = z^2 i + y^2 j + x^2 k i g(r) = xy i + x^2 j + yz k sobre una superfície tancada arbitrària, els fluxos de f i g a… - Problema 1 (06/06/2013) · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Considereu l'equació diferencial (1 + y^2 e^{2x})y' + y = 0. a) Apliqueu y = u(x)e^{mx} i deduïu la nova equació per a u(x). b) Discutiu per a quins valors de m l'equació resultant esdevé de… - Problema 2 (06/06/2013) · Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre
Llançament vertical cap amunt d'un mòbil d'1 kg amb v_0 = 3 m/s: calcular y(t) i cota màxima sense resistència de l'aire, i v(t) i cota màxima amb resistència aerodinàmica proporcional a v. - Problema 3 (06/06/2013) · Integrals de línia i camps conservatius
Càlcul de la integral de línia d'un camp vectorial sobre la corba intersecció d'un cilindre parabòlic i un pla, comprovació de si és conservatiu i obtenció del potencial escalar. - Problema 4 (06/06/2013) · Geometria diferencial de corbes
Determinar l'equació de la recta tangent a la corba paramètrica r(t) = (t, t^2, t^3) i trobar els valors de t=a tals que la recta tangent passi pel punt extern P(2,3,4). - Ejercicio 45.a - Modelització · Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre
Classifiqueu com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu: En una ciutat amb una població constant de P persones, la taxa temporal de variació del nombre de persones infectades N(t) és proporcional… - Ejercicio 45.b - Primer ordre · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Classifiqueu com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu: Per a l'EDO dy/dx + xy/(1+x) = 1 + x, la funció μ(x, y) = e^x / (1+x) n'és un factor integrant. - Ejercicio 45.c - Resolució numèrica · Resolució numèrica d'equacions diferencials
Classifiqueu com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu: Pel que fa a la integració numèrica d'EDO mitjançant mètodes de Runge-Kutta, RK4 és més precís que RK2 perquè RK4 avalua les derivades… - Ejercicio 45.d - Camps i operadors · Camps escalars i operadors diferencials
Classifiqueu com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu: Donada la funció escalar f(x, y) = 2x + 4y/x^2, la seva derivada direccional en el punt (1, -1) segons el vector unitari s = 1/sqrt(13)*(2,… - Ejercicio 45.e - Integrals de línia · Integrals de línia i camps conservatius
Classifiqueu com a VERTADERA o FALSA i justifiqueu: Per al camp vectorial a R^2 donat per f(x, y) = x e^r i + y e^r j (on r = sqrt(x^2 + y^2)), la circulació al llarg de qualsevol corba tancada és… - Problema 1 (05/06/2014) · Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre
Cinemàtica d'una barca creuant un corrent fluvial: determinar y(t), l'EDO per a x(t), la velocitat x'(t), la posició x(t) i les coordenades finals en arribar a l'altra riba. - Problema 2 (05/06/2014) · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Es considera l'equació diferencial y' + y cos x = sin x cos x. a) Comproveu si és exacta i trobeu el factor integrant μ(x). b) Trobeu la solució general per variació de constants. c) Resoleu-la fent… - Problema 3 (05/06/2014) · Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss
Problema sobre el teorema de la divergència entre dues superfícies esfèriques de radis 1 i 2 i un con z = sqrt(x^2+y^2). Inclou esquema gràfic, expressió de dS en esfèriques, càlcul directe del flux… - Problema 4 (05/06/2014) · Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss
Es vol calcular el treball d'un camp vectorial f = (x^3+2y)i + (y^2+4x)j al llarg d'un triangle que uneix (2,0,0), (0,2,0) i (-1,0,0) en z=0. a) Mitjançant Stokes/Green. b) Comprovar que… - Ejercicio 50.a - Modelització · Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre
Qüestió V/F: En una colònia de N individus amb taxa de decreixement dN/dt = -kN (k=2), la població s'estabilitza a la meitat de la població original. - Ejercicio 50.b - Ordre superior · Equacions diferencials d'ordre superior
Qüestió V/F: Donat que y1(t) = e^t i y2(t) = t*e^t són solucions particulars de y'' - 2y' + y = 0, el Wronskià val W(y1, y2) = e^(2t). - Ejercicio 50.c - Resolució numèrica · Resolució numèrica d'equacions diferencials
Determinar si és vertadera o falsa l'afirmació: 'En la resolució numèrica d'equacions diferencials mitjançant esquemes de Runge-Kutta, l'ordre de convergència global depèn del pas d'integració h… - Ejercicio 50.d - Camps i operadors · Camps escalars i operadors diferencials
Determinar si és vertadera o falsa l'afirmació següent: «Per a una funció escalar diferenciable u = f(x, y, z) a ℝ³, en qualsevol punt sempre és possible localitzar direccions en les quals la… - Ejercicio 50.e - Integrals de línia · Integrals de línia i camps conservatius
Determinar i justificar si és vertadera o falsa la següent afirmació: Per a qualsevol terna de funcions escalars f, g, h, la integral de línia del camp a(r) = f(x) i + g(y) j + h(z) k entre dos punts… - Problema 1.a-d (23/03/2014) - Dinàmica · Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre
Apartats a-d del Problema 1: Dinàmica gravitacional del coet a Diskworld, trobar l'equació diferencial z'' + GMz = 0, l'evolució de la velocitat v(z), la posició z(t), la constant C1 i determinar si… - Problema 1.e (23/03/2014) - Mètode d'Euler · Resolució numèrica d'equacions diferencials
Utilitzant el mètode d'Euler amb pas h = 1 s per resoldre E' = E amb E(0) = 1 J, calculeu l'energia acumulada als 5 segons i determineu si es pot llançar el coet si es requereixen com a mínim 100 J. - Problema 1 (10/09/2010) · Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre
Formulació i resolució de l'EDO del moviment radial d'un objecte sotmès a la gravetat newtoniana, deducció de la velocitat d'escapament v_e = sqrt(2GM/R) i càlcul numèric de v_e per a la Terra usant… - Problema 2 (10/09/2010) · Integrals de línia i camps conservatius
Calcular la integral de línia d'un camp vectorial a lo llarg d'una corba paramètrica (apartat a) i d'un segment rectilini (apartat b), i justificar el resultat per a qualsevol corba entre els punts P… - Problema 3 (10/09/2010) · Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss
Determinar el flux del camp vectorial a través de la superfície frontera del sòlid comprès entre el paraboloide z = x^2 + y^2 i els plans z = 0 i z = 1 usant el teorema de Gauss-Ostrogradski. - Ejercicio 55.a-b - Primer ordre · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Determinar el valor de veritat (V/F) i raonar la resposta: a) Si (x+y+1)dy = (x-y+1)dx es pot transformar en variables separades. b) Si y' = e^(y'/y) no és resoluble perquè és impossible aïllar y'. - Ejercicio 55.c - Resolució numèrica · Resolució numèrica d'equacions diferencials
Determinar el valor de veritat (V/F) i raonar la resposta: si RK2 és més precís que Euler perquè utilitza un pas h/2 en lloc d'h. - Ejercicio 55.d-e - Camps i operadors · Camps escalars i operadors diferencials
Determineu el valor de veritat (V si és vertadera, F si és falsa) i raoneu la resposta: d. En qualsevol punt del domini d'una funció escalar u = f(x, y, z), el vector gradient ∇f marca la direcció… - Problema 1 (09/09/2011) · Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre
Model d'acumulació i desintegració de residus radioactius. Es demana formular l'EDO, trobar la solució general, resoldre el PVI amb condició inicial y(0) = 0.2 i calcular el límit asimptòtic quan t… - Problema 2 (09/09/2011) · Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss
Problema 2 de l'examen de setembre de 2011: Calculeu la circulació del camp vectorial de posició al llarg de la corba d'intersecció del con i el paraboloide mitjançant el teorema de Stokes i… - Problema 3 (09/09/2011) · Integrals de línia i camps conservatius
Problema 3 de l'examen de setembre de 2011: Demostrar que un camp vectorial és conservatiu, calcular el seu potencial escalar i avaluar la integral de línia al llarg d'una corba donada entre t=0 i… - Ejercicio 59.a-b - Primer ordre · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Preguntes teòriques de V/F sobre equacions diferencials de primer ordre: a) resolució d'una EDO invertint el paper de les variables per obtenir una equació lineal completa; b) resolució d'una equació… - Ejercicio 59.c - Resolució numèrica · Resolució numèrica d'equacions diferencials
Pregunta de V/F de teoria numèrica: Determinar si els mètodes de Runge-Kutta requereixen o eviten calcular derivades parcials pas a pas a cada node. - Ejercicio 59.d - Geometria de corbes · Geometria diferencial de corbes
Classifiqueu com a vertadera o falsa i justifiqueu: d. Per a qualsevol corba plana continguda a R^3, el radi de torsió és infinit a tots els seus punts. - Ejercicio 59.e - Integrals de línia · Integrals de línia i camps conservatius
Classifiqueu com a vertadera o falsa i justifiqueu: e. Per al camp vectorial f(r) = z^2 i + y^2 j + x^2 k de R^3, la integral de línia entre dos punts no depèn de la trajectòria escollida. - Problema 1 (04/09/2012) · Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre
Propagació epidèmica en una població universitària mitjançant una EDO logística: plantejament de l'equació dP/dt, resolució per separació de variables amb condició inicial P(0)=1 i càlcul del temps… - Problema 2 (04/09/2012) · Equacions diferencials d'ordre superior
Oscil·lador mecànic forçat sense esmorteïment: formular l'EDO del moviment i tipus d'equació, i calcular la solució explícita x(t) en règim de ressonància pura per a x(0)=x0 i x'(0)=0. - Problema 3 (04/09/2012) · Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss
Calcular el flux del camp F=(x,y,2z) a través de la superfície del paraboloide tancat z <= 4-2x^2-2y^2, z >= 0 per Gauss i per integrals directes. - Ejercicio 63.a-b - Primer ordre · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Qüestions V/F sobre reducció d'una EDO a variables separables mitjançant rectes paral·leles i sobre resolució paramètrica quan y' no s'aïlla explícitament. - Ejercicio 63.c - Resolució numèrica · Resolució numèrica d'equacions diferencials
Qüestió V/F: En la resolució numèrica d'EDO per mètodes de Runge-Kutta, l'ordre global de convergència mai no pot superar 4. - Ejercicio 63.d - Geometria de corbes · Geometria diferencial de corbes
Classifiqueu com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu: d. Per a qualsevol corba plana a R^3, la seva torsió és constant en tots els punts. - Ejercicio 63.e - Integrals de línia · Integrals de línia i camps conservatius
Classifiqueu com a VERTADERA (V) o FALSA (F) i justifiqueu: e. Per a qualsevol camp vectorial a R^3 del tipus newtonià f(r) = (k/r^3)r, la integral de línia entre dos punts qualsevol A i B no depèn… - Problema 1 (03/09/2013) · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Equació diferencial de Clairaut: demostració de la solució general rectilínia, càlcul per f(y') = y'^2 i determinació de la corba envolvent. - Problema 2 (03/09/2013) · Coordenades curvilínies ortogonals
Camp vectorial conservatiu en coordenades esfèriques: determinar la funció f(r) que anul·la el rotacional i calcular el potencial escalar. - Problema 3 (03/09/2013) · Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss
Verificació pas a pas del teorema de Gauss-Ostrogradski per a f(x,y,z)=(x,y,z) en una esfera de radi R: integral de volum de div(f), parametrització, vectors tangents i normal, integral de superfície… - Ejercicio 67.a - Primer ordre · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Pregunta V/F: Donada l'EDO xy' - 3y = 0, la funció y = Cx^n n'és solució si i només si C = 0. - Ejercicio 67.b - Ordre superior · Equacions diferencials d'ordre superior
Indiqueu si és vertadera o falsa l'afirmació: 'Per a l'equació diferencial y'' + 10y' + 25y = 0, la solució general és y = Ce^(-5x)'. Justifiqueu la decisió. - Ejercicio 67.c - Resolució numèrica · Resolució numèrica d'equacions diferencials
Qüestió V/F sobre la convergència a la solució exacta en el mètode RK4 en reduir el pas d'integració h. - Ejercicio 67.d - Camps i operadors · Camps escalars i operadors diferencials
Qüestió V/F sobre si l'equació del pla tangent a z = x^2 + 2y^2 en el punt (2, -1, 6) és 4x - 4y - z - 6 = 0. - Ejercicio 67.e - Superfícies i flux · Superfícies i flux d'un camp vectorial
Qüestió V/F sobre el flux del camp central f(r) = (psi(r)/r)*r a través d'una esfera tancada de radi a. - Problema 1 (02/09/2014) · Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre
Trobeu l'equació de la corba continguda en el pla XY que conté el punt (1,1) tal que per a qualsevol punt (x,y), la distància de l'origen al punt de tall de la recta tangent amb OY és igual a la… - Problema 2 (02/09/2014) · Equacions diferencials d'ordre superior
Resoleu l'equació diferencial d'Euler-Cauchy no homogènia x^2 y'' + 3xy' + y = 1/(1-x)^2 mitjançant la transformació x = e^t, trobant la solució homogènia i aplicant variació de les constants. - Problema 3 (02/09/2014) · Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss
Comprovació del teorema de Stokes per al camp vectorial f(r) = xy i + yz j + xz k sobre la superfície z = 4 - x^2 per a x in [0,2], y in [-4,4]. - Ejercicio 71.a-b - Primer ordre · Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució
Classifiqueu com a VERTADER (V) o FALS (F) i raoneu breument: a. L'equació diferencial (xy - 3 tan y)y' = 1 es pot resoldre com una equació lineal completa. b. L'EDO y' + log(y') + y = 0 no és… - Ejercicio 71.c - Geometria de corbes · Geometria diferencial de corbes
Determinar si l'afirmació és vertadera o falsa: «Per a la corba tridimensional r(t) = i + sin(t) j + cos(t) k de R^3, el radi de torsió és infinit a tots els seus punts.» - Ejercicio 71.d - Integrals de línia · Integrals de línia i camps conservatius
Determinar si l'afirmació és vertadera o falsa: Un camp vectorial a R^3 de la forma f(r) = (f(r) + g(r))r és conservatiu per a qualsevol parell de funcions f i g. - Ejercicio 71.e - Teoremes d'integració · Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss
Determinar si és vertadera o falsa l'afirmació: Donats els camps vectorials f(r) = x^2 i + y^2 j + z^2 k i g(r) = 2xy i + 2yz j + 2xz k de R^3, els seus fluxos a través de la superfície esfèrica…
También puedes estudiar por temas
Practica un tema con ejercicios de los exámenes de todos los años, mezclados.
- Equacions diferencials de primer ordre: tipus i mètodes de resolució · 21 problemas
- Modelització física i problemes geomètrics amb EDO de primer ordre · 18 problemas
- Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss · 18 problemas
- Integrals de línia i camps conservatius · 17 problemas
- Resolució numèrica d'equacions diferencials · 15 problemas
- Equacions diferencials d'ordre superior · 11 problemas