Problema 1.a-d (23/03/2014) - Dinàmica · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Al conegut Diskworld la gravetat funciona lleugerament diferent: per a un coet que s'allunya del món pla, l'atracció gravitacional és directament proporcional a la massa del planeta $M$, a la massa del coet $m$ i a la distància al propi Diskworld, sempre que aquesta distància sigui prou gran comparada amb la seva mida.

a)

Escriviu l'equació diferencial que descriu el moviment del coet, $z(t)$, considerant un sistema de coordenades amb l'origen a la superfície i sentit positiu cap a l'espai exterior. Preneu com a constant de proporcionalitat $-G$ amb $G > 0$.

b)

Trobeu l'evolució de la velocitat del coet en funció de la distància $z$ respecte de Diskworld.

c)

Trobeu la posició del coet en funció del temps $t$.

d)

Calculeu la primera constant d'integració sabent que a una distància de $10^6\text{ km}$ el coet té una velocitat de $300\text{ km/s}$. El Sol de Diskworld és a $10^8\text{ km}$ de la superfície. Podrà arribar-hi el coet? (Dada: $GM = 16\cdot 10^{-8}\text{ s}^{-2}$).

Sí

No