Problema 1 (05/06/2014) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Una barca travessa un riu d'amplada $A$ amb una velocitat constant pròpia $v_c$ en sentit perpendicular al corrent, independentment de qualsevol força externa. Simultàniament, la barca és arrossegada pel corrent longitudinal del riu a causa d'una força proporcional a la seva massa $m$ i a la diferència entre la velocitat de l'aigua $v_r$ i la velocitat de la barca en aquesta direcció, amb una constant de proporcionalitat $k$. La barca salpa de l'origen de coordenades $(x, y) = (0, 0)$ en $t = 0$ amb velocitat inicial transversal nul·la en l'eix del riu ($\dot{x}(0) = 0$). L'eix $y$ mesura la distància perpendicular al riu i $x$ la distància en la direcció del corrent.

a.

[0.5 punts] Establiu i resoleu l'equació diferencial per a $y(t)$.

b.

[0.5 punts] Establiu l'equació diferencial que governa $x(t)$.

c.

[0.5 punts] Determineu l'expressió temporal de la velocitat $\dot{x}(t)$.

d.

[0.5 punts] Deduïu la posició longitudinal $x(t)$.

e.

[0.5 punts] Si $A = 200\text{ m}$, $v_c = 2\text{ m/s}$, $k = 1/100\text{ s}^{-1}$ i $v_r = 1\text{ m/s}$, calculeu les coordenades $(x, y)$ de la barca en el moment exacte d'arribar a l'altra riba (useu $1/e = 0.37$).