Problema 3 (02/09/2014) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Es vol calcular la circulació del camp vectorial $\vec{f}(\vec{r}) = xy\,\hat{i} + yz\,\hat{j} + xz\,\hat{k}$ al llarg del contorn tancat que delimita la porció de superfície parabòlica $z = 4 - x^2$ per a $0 \le x \le 2$ i $-4 \le y \le 4$.

a)

[0,5 punts] Calculeu el rotacional del camp $\vec{f}(\vec{r})$.

b)

[0,5 punts] Parametritzeu la superfície emprant com a paràmetres $x$ i $y$, i determineu el vector diferencial de superfície $d\vec{S}$ orientat cap amunt.

c)

[0,75 punts] Calculeu la circulació del camp aplicant el teorema de Stokes.

d)

[0,75 punts] Verifiqueu el teorema calculant la integral de línia directament sobre cadascun dels quatre segments que formen el contorn tancat. Confirmeu el valor total resultant: