Exercici 4 (20/01/2014) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

a) Condició necessària i suficient en $\mathbb{R}^3$ (rotacional): $\vec{\nabla}\times \vec{A} =$

Solución: 0 / \vec{0} / (0, 0, 0)

a) Per què el fet que $\vec{\nabla}\times \vec{A} = \vec{0}$ garanteix la independència de la trajectòria? Raoneu la topologia del domini:

Solución: Com que $\mathbb{R}^3$ és un domini simplement connex i el rotacional és nul arreu, la integral de línia no depèn del camí sinó només dels extrems P i Q.

b) Justificació de l'existència de $\phi$ i procediment d'integració:

Solución: Com que $\vec{\nabla}\times \vec{A} = \vec{0}$ a tot l'espai $\mathbb{R}^3$, el camp és conservatiu i admet un potencial escalar $\phi$ tal que $\vec{\nabla}\phi = \vec{A}$. Integrant successivament respecte a $x$, $y$ i $z$ s'obté l'expressió.

b) Expressió general del potencial escalar $\phi(x, y, z)$ (incloent la constant d'integració $C$):

Solución: 2x^2 y - x^3 z^2 + C