Exercici 3 (20/01/2014) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Es vol determinar l'àrea $A$ del recinte del pla $XY$ fitat per les corbes $y = 3\sin x$, $y = \sin x$ i la recta vertical $x = \pi/2$ (per a $x \ge 0$).

a)

És simplement connexa la regió?

Sí

No

b)

Demostreu mitjançant el teorema de Green que l'àrea es pot avaluar com $A = \frac{1}{2} \oint_C (x\,dy - y\,dx)$. Prenent el camp $\vec{F} = (P, Q) = \left(-\frac{y}{2}, \frac{x}{2}\right)$, quin és el valor del seu rotacional escalar $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$?

c) i d)

Parametritzeu les corbes que delimiten el contorn en sentit antihorari i calculeu les integrals de línia $I_i = \frac{1}{2} \int_{C_i} (x\,dy - y\,dx)$:

e)

Sumeu les integrals de línia per obtenir l'àrea total $A$: