Exercici 1 (28/06/2010) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

a. [1.0 punt] Formuleu l'equació del moviment per a una bola de massa $m$ que llisca sense fregament a l'interior del tub en el sistema de referència lligat al tub. Demostreu que la posició radial respon a $r(t) = a\cosh(\omega t)$ si a l'instant $t = 0$ es troba a distància $r = a$ amb velocitat radial inicial zero.

Solución: $m\ddot{r} = m\omega^2 r \implies r(t) = a\cosh(\omega t)$

b. [0.5 punts] Prenent $\omega = 1\text{ s}^{-1}$, quant de temps trigarà la bola en sortir per l'extrem del tub?

Solución: $\operatorname{arcosh}(2) = \ln(2 + \sqrt{3})\approx 1{,}317$ s

c. [1.0 punt] S'omple ara el tub amb un fluid viscós que genera una força resistent $F_v = -kv^2$. Trobeu la velocitat radial en funció de la posició, $v(r)$, si inicialment s'inicia el moviment des de l'eix de rotació ($r = 0$) amb velocitat $v_0 = m\omega/k$.

Solución: $v(r) = \sqrt{\frac{m\omega^2}{k}r - \frac{m^2\omega^2}{2k^2} + \frac{3}{2}\left(\frac{m\omega}{k}\right)^2 e^{-\frac{2k}{m}r}}$