Exercici 1 (18/01/2011) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

a. [1 punt] Demostreu que la funció $\mu(x, y) = \frac{1}{xy[f(xy) - g(xy)]}$ actua com a factor integrant de l'equació.

Solución: Multiplicant per $\mu$ tenim l'equació $M\,dx + N\,dy = 0$ amb $M = \frac{yf(xy)}{xy(f-g)} = \frac{f(u)}{x[f(u)-g(u)]}$ i $N = \frac{g(u)}{y[f(u)-g(u)]}$, on $u = xy$. Comprovant la condició d'exactitud $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ es comprova que són idèntiques.

b. [1.5 punts] Emprant el resultat anterior, determineu la solució general per a l'equació diferencial $2xy^2 dx + (3x^2y - 4x) dy = 0$.

Solución: $y(4 - xy)^2 = C$ / $y(xy - 4)^2 = C$