Problema 3 (05/06/2014) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Tema: Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss · Del examen Recopilatori d'exàmens d'Equacions Diferencials i Càlcul Vectorial (Part 1) (2010)

Enunciado

Sigui el domini tancat limitat superiorment i inferiorment per les superfícies esfèriques S1S_1 i S2S_2, i lateralment per la superfície cònica S3S_3, definides per:S1:x2+y2+z2=1,S2:x2+y2+z2=4,S3:x2+y2=z2S_1: x^2 + y^2 + z^2 = 1, \quad S_2: x^2 + y^2 + z^2 = 4, \quad S_3: x^2 + y^2 = z^2per a punts situats en el semi-espai z>0z > 0.

a)

[0,5 punts] Feu un esquema gràfic de la regió tancada resultant.

b)

[0,5 punts] Expresseu en coordenades esfèriques el vector diferencial d'àrea dS⃗d\vec{S} per a cadascuna de les tres superfícies delimitadores (orientades cap a l'exterior del volum).

c)

[0,75 punts] Calculeu, emprant coordenades esfèriques, el flux sortint del camp vectorial f⃗(r⃗)=krr^\vec{f}(\vec{r}) = kr\hat{r} a través de la superfície tancada anterior.

d)

[0,75 punts] Verifiqueu el resultat comprovant que es compleix el teorema de Gauss-Ostrogradski mitjançant la integral de volum pertinent. Indiqueu la divergència ∇⃗⋅f⃗\vec{\nabla}\cdot\vec{f} i comproveu la integral:

Enunciado: Problema 3 (05/06/2014) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. [0.5 punts] Feu un esquema gràfic de la regió tancada resultant.

Solución: Sector cònic sòlid truncat entre les dues esferes de radis r=1r=1 i r=2r=2, acotat pel con θ=π/4\theta = \pi/4 (z>0z > 0).

b. [0.5 punts] Expresseu en coordenades esfèriques el vector diferencial d'àrea dS per a S1:

Solución: −r2sin⁡θ dθ dϕ r^=−sin⁡θ dθ dϕ r^-r^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi\,\hat{r} = -\sin\theta\,d\theta\,d\phi\,\hat{r}

b. [0.5 punts] Expresseu en coordenades esfèriques el vector diferencial d'àrea dS per a S2:

Solución: r2sin⁡θ dθ dϕ r^=4sin⁡θ dθ dϕ r^r^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi\,\hat{r} = 4\sin\theta\,d\theta\,d\phi\,\hat{r}

b. [0.5 punts] Expresseu en coordenades esfèriques el vector diferencial d'àrea dS per a S3:

Solución: rsin⁡(π/4) dr dϕ θ^=22r dr dϕ θ^r\sin(\pi/4)\,dr\,d\phi\,\hat{\theta} = \frac{\sqrt{2}}{2}r\,dr\,d\phi\,\hat{\theta}

c. [0.75 punts] Calculeu, emprant coordenades esfèriques, el flux sortint del camp vectorial f(r) a través de la superfície tancada anterior.

Solución: 14πk(1−22)14\pi k\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)

d. [0.75 punts] Verifiqueu el resultat comprovant que es compleix el teorema de Gauss-Ostrogradski mitjançant la integral de volum pertinent.

Solución: 3k3k

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Ejercicio 40.e - Teoremes d'integració · 2010 · Problema 4 (05/06/2014) · 2010 ›

Más ejercicios de Teoremes d'integració: Green, Stokes i Gauss