Exercici 2 (21/01/2013) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Exercici 2 (21/01/2013). Caiguda lliure amb resistència [2.0 punts]

Un paracaigudista de massa $m$ es precipita des d'un punt a $6000\text{ m}$ d'alçada amb velocitat inicial nul·la ($v_0 = 0$). L'acció de la resistència de l'aire és proporcional a la velocitat mitjançant una constant $k$. Es defineix la posició cap avall amb origen $r = 0$ a l'altura de salt, sota acceleració gravitatòria constant $g$.

a.

Establiu l'equació diferencial del moviment per a la velocitat expressant la derivada $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$ com a funció de $g$, $k$, $m$ i $v$:

b.

Resoleu l'expressió analítica per a la velocitat $v(t)$ en funció de $m$, $g$, $k$, $v_0$ i $t$:

c.

Trobeu la posició $r(t)$ en funció del temps ($m, g, k, v_0, t$), suposant $r(0) = 0$:

d.

Prenent $v_0 = 0$, $g = 10\text{ m s}^{-2}$ i $k = m/5\text{ kg s}^{-1}$, trobeu la distància caiguda al cap de $t = 100\text{ s}$:

e.

En les condicions de l'apartat d), quina és la velocitat terminal de caiguda? I si hagués saltat amb una velocitat inicial de $v_0 = 100\text{ m s}^{-1}$?