Exercici 1 (21/01/2013) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Enunciado

Es considera l'equació diferencial de Riccati $2x^2 y' = (x - 1)(y^2 - x^2) + 2xy$ .

[0.25 punts] Verifiqueu que $y = x$ és una solució particular.

[0.75 punts] Proveu que mitjançant el canvi $y = x + \frac{1}{v}$ es redueix a una equació lineal en $v(x)$ .

[1.0 punts] Calculeu la solució general de l'equació original $y(x)$ (podeu utilitzar $C$ o $C_1$ com a constant d'integració):

[0.5 punts] Trobeu la corba solució particular que creua pel punt $(1, 3)$ .

Enunciado: Exercici 1 (21/01/2013) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Según los criterios oficiales de corrección

a. [0.25 punts] Verifiqueu que $y = x$ és una solució particular.

Solución: Substituint $y = x$ i $y' = 1$ : membre esquerre $2x^2(1) = 2x^2$ ; membre dret $(x-1)(x^2-x^2) + 2x(x) = 2x^2$ . Coincideixen.

b. [0.75 punts] Proveu que mitjançant el canvi $y = x + \frac{1}{v}$ es redueix a una equació lineal en $v(x)$ .

Solución: $v' + \frac{1}{x}v = \frac{1-x}{2x^2}$

c. [1.0 punts] Calculeu la solució general de l'equació original.

Solución: $y(x) = x + \frac{2x}{C_1 - x + \ln|x|}$

d. [0.5 punts] Trobeu la corba solució particular que creua pel punt $(1, 3)$ .

Solución: $y(x) = x + \frac{2x}{2 - x + \ln|x|}$

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.