Problema 2 (03/09/2013) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Tema: Coordenades curvilínies ortogonals · Del examen Recopilatori d'exàmens d'Equacions Diferencials i Càlcul Vectorial (Part 1) (2010)

Enunciado

Sigui el camp vectorial definit a R3\mathbb{R}^3 per:

a⃗=1r3sin⁡θ r^+f(r)cos⁡θ θ^\vec{a} = \frac{1}{r^3} \sin\theta\,\hat{r} + f(r) \cos\theta\,\hat{\theta}

a.

[1.25 punts] Demostreu que la funció f(r)=−12r3+C1rf(r) = -\frac{1}{2r^3} + \frac{C_1}{r} fa que aquest camp vectorial sigui conservatiu.

b.

[1.25 punts] Fent ús del resultat anterior, determineu el potencial escalar del qual deriva el camp.

Enunciado: Problema 2 (03/09/2013) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. [1.25 punts] Demostreu que la funció f(r)=−12r3+C1rf(r) = -\frac{1}{2r^3} + \frac{C_1}{r} fa que aquest camp vectorial sigui conservatiu.

Solución: Imposant ∇⃗×a⃗=0⃗\vec{\nabla} \times \vec{a} = \vec{0}, tenim ∂∂r(rf(r)cos⁡θ)−∂∂θ(sin⁡θr3)=0⇒ddr(rf(r))=1r3\frac{\partial}{\partial r}(r f(r) \cos\theta) - \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\sin\theta}{r^3}\right) = 0 \Rightarrow \frac{d}{dr}(r f(r)) = \frac{1}{r^3}. Integrant respecte a rr: rf(r)=−12r2+C1⇒f(r)=−12r3+C1rr f(r) = -\frac{1}{2r^2} + C_1 \Rightarrow f(r) = -\frac{1}{2r^3} + \frac{C_1}{r}.

b. [1.25 punts] Fent ús del resultat anterior, determineu el potencial escalar del qual deriva el camp.

Solución: Φ(r,θ)=(C1−12r2)sin⁡θ+C0\Phi(r, \theta) = \left(C_1 - \frac{1}{2r^2}\right)\sin\theta + C_0 / −sin⁡θ2r2+C1sin⁡θ+C0-\frac{\sin\theta}{2r^2} + C_1\sin\theta + C_0

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