Exercici 1 (17/01/2012) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Exercici 1 (17/01/2012). Model d'expansió d'un rumor (2.5 punts)

A l'instant inicial $t = 0$, una tercera part d'una comunitat de 15.000 científics rep el rumor sobre la troballa del bosó de Higgs. La taxa de propagació és proporcional al nombre de científics informats, $N(t)$, multiplicat pel nombre dels qui encara ho ignoren. Inicialment, la variació de $N(t)$ és de 1000 científics/dia.

a.

[0.5 punts] Formuleu l'equació diferencial associada calculant la constant de proporcionalitat $k$:

dies⁻¹

b.

[0.5 punts] Trobeu la solució general de l'EDO en funció d'una constant arbitrària $C$ o $A$:

c.

[0.5 punts] Determineu la solució particular sotmesa a les condicions inicials:

d.

[0.5 punts] Calculeu quan haurà arribat la notícia als 5/6 de la població total (useu $\ln(10) \approx 2.3$):

dies

e.

[0.5 punts] Estimeu mitjançant el mètode d'Euler el nombre de científics que sabran el rumor al cap de 3 dies ($N_3$), fent servir passos $h = 1$ dia:

científics