Exercici 3 (17/01/2012) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Tema: Camps escalars i operadors diferencials · Del examen Recopilatori d'exàmens d'Equacions Diferencials i Càlcul Vectorial (Part 1) (2010)

Enunciado

Exercici 3 (17/01/2012). Potencial de Yukawa i laplacià [2.5 punts]

D'acord amb el model de Yukawa per a la interacció nuclear entre un neutró i un protó, el potencial electrofeble efectiu ve descrit per U(r)=Ke−αrrU(r) = K\frac{e^{-\alpha r}}{r}, on K<0K < 0 i α>0\alpha > 0 són constants i rr la distància mútua.

a)

[0.5 punts] Determineu la força F⃗(r⃗)=−∇⃗U\vec{F}(\vec{r}) = -\vec{\nabla} U per a tot r>0r > 0.

b)

[1.0 punt] Calculeu de forma directa el flux del camp de forces F⃗\vec{F} a través d'una esfera de radi r=ar = a (a>0a > 0).

c)

[1.0 punt] Demostreu la relació diferencial ∇2U=α2U\nabla^2 U = \alpha^2 U per a r≠0r \neq 0.

Enunciado: Exercici 3 (17/01/2012) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. [0.5 punts] Determineu la força F⃗(r⃗)=−∇⃗U\vec{F}(\vec{r}) = -\vec{\nabla} U per a tot r>0r > 0.

Solución: Fr=Ke−αr(1+αr)r2F_r = K\frac{e^{-\alpha r}(1+\alpha r)}{r^2}

b. [1.0 punt] Calculeu de forma directa el flux del camp de forces F⃗\vec{F} a través d'una esfera de radi r=ar = a (a>0a > 0).

Solución: Φ=4πKe−αa(1+αa)\Phi = 4\pi K e^{-\alpha a}(1+\alpha a)

c. [1.0 punt] Demostreu la relació diferencial ∇2U=α2U\nabla^2 U = \alpha^2 U per a r≠0r \neq 0.

Solución: ddr[−Ke−αr(1+αr)]=Kα2re−αr\frac{d}{dr}\left[-Ke^{-\alpha r}(1+\alpha r)\right] = K\alpha^2 r e^{-\alpha r}

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