Problema 1 (04/09/2012) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Examen 4 de setembre de 2012. Problema 1 (2,5 punts). Propagació epidèmica en una població universitària

Un estudiant infectat pel virus de la grip arriba a un campus universitari aïllat amb un total de $N = 1000$ estudiants. Suposant que la velocitat de contagi és directament proporcional al producte del nombre d'individus ja contagiats pel nombre d'individus que encara romanen sans:

a)

[0.5 punts] Formuleu l'equació diferencial que relaciona el nombre d'estudiants infectats $P(t)$ amb el temps $t$, assumint que la població total és estrictament constant.

b)

[1.5 punts] Determineu la solució particular de l'equació per a una constant de contagi $K$ genèrica, tenint en compte que a l'instant inicial hi ha un únic infectat ($P(0) = 1$).

c)

[0.5 punts] Calculeu en quin instant de temps la malaltia haurà afectat el 10% de la població universitària si la constant val $K = 10^{-3}\text{ estudiants}^{-1}\text{dia}^{-1}$ (deixeu el resultat indicat en forma logarítmica).