Exercici 4 (09/06/2011) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Exercici 4 (09/06/2011). Potencial escalar i teorema de Green

Sigui el camp vectorial definit al pla $\mathbb{R}^2$ per $\vec{f}(x, y) = (x^2 + y^2)\vec{i} + 2xy\vec{j}$.

a)

[1.0 punts] Trobeu el potencial escalar $\Phi(x, y)$ del qual es deriva el camp (prenent la constant d'integració $C = 0$).

b)

[0.75 punts] Calculeu la integral de línia de $\vec{f}$ sobre la corba $C: x = t, y = 2t^2$ per a $0 \le t \le 1$.

c)

[0.75 punts] Emprant el teorema de Green, calculeu la circulació de $\vec{f}$ al llarg del contorn tancat de la regió $R = \{(x, y): 0 \le x \le 1, 2x^2 \le y \le 2x\}$ en sentit antihorari, justificant el resultat obtingut.