Problema 2 (09/09/2011) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Examen 9 de setembre de 2011. Problema 2 (2,5 punts). Teorema d'Stokes i circulació del vector de posició

Sigui el camp vectorial de posició a $\mathbb{R}^3$ donat per $\vec{f}(\vec{r}) = \vec{r} = x\,\hat{i} + y\,\hat{j} + z\,\hat{k}$.

a)

[1.5 punts] Calculeu, mitjançant el teorema de Stokes, la circulació de $\vec{r}$ al llarg de la corba tancada intersecció del con $x^2 + y^2 = z^2$ i del paraboloide $x^2 + y^2 = 6 - z$, amb la condició $z \ge 0$.

b)

[1.0 punts] Fent servir coordenades cilíndriques ($\vec{r} = \rho\,\hat{\rho} + z\,\hat{z}$), avalueu directament la circulació de $\vec{f}$ al llarg de la mateixa corba. Quin en seria el resultat emprant coordenades esfèriques?