Problema 2 (04/09/2012) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

a. [0.75 punts] Formuleu l'equació del moviment per a un oscil·lador mecànic format per una massa m unida a una molla de constant elàstica k (sense esmorteïment), sotmesa a una força exterior sinusoïdal paral·lela a la molla d'amplitud per unitat de massa A_0 i freqüència angular w. Quin tipus d'equació diferencial és?

Solución: $\ddot{x} + \frac{k}{m}x = A_0 \cos(wt)$ o bé $\ddot{x} + w_0^2 x = A_0 \cos(wt)$ amb $w_0^2 = k/m$. És una equació diferencial ordinària lineal de segon ordre amb coeficients constants, no homogènia.

b. [1.75 punts] Demostreu que en el cas límit en què la freqüència de la força externa coincideix amb la freqüència pròpia natural de l'oscil·lador, w = w_0 = \sqrt{k/m}, el moviment resultant consisteix en la superposició d'una oscil·lació harmònica pura i d'una oscil·lació amb amplitud que creix de manera lineal amb el temps. Escriviu l'expressió explícita de x(t) per a les condicions inicials x(0) = x_0 i \dot{x}(0) = 0.

Solución: $x(t) = x_0 \cos(w_0 t) + \frac{A_0}{2w_0} t \sin(w_0 t)$