Problema 4 (05/06/2014) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Es vol calcular el treball realitzat pel camp de forces:

$$\vec{f}(x, y, z) = (x^3 + 2y)\,\vec{i} + (y^2 + 4x)\,\vec{j}$$

en desplaçar una partícula al llarg de la línia tancada triangular que uneix successivament els punts $(2,0,0)$, $(0,2,0)$ i $(-1,0,0)$ en el pla $z = 0$.

a)

[0.75 punts] Calculeu el treball recorrent al teorema de Stokes (o teorema de Green al pla).

b)

[0.5 punts] Comproveu que el camp $\vec{f}_1(x, y, z) = (x^3 + 4y)\,\vec{i} + (y^2 + 4x)\,\vec{j}$ és conservatiu i determineu el seu potencial escalar $\phi(x,y)$.

c)

[0.25 punts] Descomponeu el camp original en la suma $\vec{f} = \vec{f}_1 + \vec{f}_2$ i identifiqueu $\vec{f}_2(x, y, z)$.

d)

[1.0 punts] Calculeu directament la integral de línia al llarg del contorn triangular per comprovar el valor del treball total obtingut a l'apartat a).