Problema 1 (10/09/2010) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Al conegut Diskworld la gravetat funciona lleugerament diferent: per a un coet que s'allunya del món pla, l'atracció gravitacional és directament proporcional a la massa del planeta $M$, a la massa del coet $m$ i a la distància al propi Diskworld, sempre que aquesta distància sigui prou gran comparada amb la seva mida.

Considereu el problema físic de la velocitat d'escapament d'un planeta:

a)

Formuleu l'equació diferencial del moviment radial d'un objecte puntual de massa $m$ llançat verticalment cap amunt amb velocitat inicial $v_0$ des de la superfície d'un planeta esfèric homogeni de massa $M$ i radi $R$ (menyspreant la resistència de l'atmosfera).

b)

Integreu aquesta equació per obtenir $v(r)$ i deduïu el valor mínim de $v_0$ que garanteix que el cos no caurà de nou sobre el planeta (velocitat d'escapament $v_e = \sqrt{2GM/R}$).

c)

Calculeu el valor numèric de $v_e$ per al planeta Terra emprant únicament: $g \simeq 9.81\text{ m/s}^2$ i el radi mitjà terrestre $R \simeq 6371\text{ km}$.