Problema 3 (03/09/2013) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

a. [0.50 punts] Calculeu la integral de volum de la divergència del camp en l'interior de l'esfera.

Solución: $4\pi R^3$

b. [0.50 punts] Parametritzeu la superfície esfèrica $S$ fent ús de coordenades esfèriques.

Solución: $\vec{r}(\theta, \phi) = (R\sin\theta\cos\phi, R\sin\theta\sin\phi, R\cos\theta)$ amb $\theta \in [0, \pi]$, $\phi \in [0, 2\pi]$

c. [0.50 punts] Trobeu els vectors tangents associats i el vector normal unitari exterior a la superfície.

Solución: $\vec{T}_\theta = (R\cos\theta\cos\phi, R\cos\theta\sin\phi, -R\sin\theta)$, $\vec{T}_\phi = (-R\sin\theta\sin\phi, R\sin\theta\cos\phi, 0)$, $\vec{T}_\theta \times \vec{T}_\phi = R^2\sin\theta\,\hat{r}$, $\hat{n} = \hat{r}$

d. [0.50 punts] Calculeu el flux del camp vectorial a través de la superfície mitjançant la integral de superfície resultant.

Solución: $4\pi R^3$

e. [0.50 punts] Raoneu una via alternativa molt més directa per verificar el teorema en aquest cas particular.

Solución: Com que $\vec{f} = \vec{r} = R\hat{n}$, $\vec{f}\cdot\hat{n} = R$ és constant a tota la superfície, el flux és $R\cdot\text{Àrea}(S) = R(4\pi R^2) = 4\pi R^3$. Al volum, $\vec{\nabla}\cdot\vec{r} = 3$ és constant, donant $3\cdot\text{Volum} = 3(\frac{4}{3}\pi R^3) = 4\pi R^3$.