Exercici 3 (09/06/2011) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Exercici 3 (09/06/2011). Potencial vector i camp magnètic

Una esfera magnètica de radi $a$ centrada a l'origen posseeix una magnetització uniforme al llarg de l'eix $z$, $\vec{M} = M\hat{k}$. El seu potencial vector magnètic $\vec{A}$ ve descrit en coordenades esfèriques per:

$$\vec{A}(r, \theta, \phi) = \frac{\mu_0 M}{3} r \sin\theta\,\hat{\phi} \quad (r < a); \qquad \vec{A}(r, \theta, \phi) = \frac{\mu_0 M a^3}{3 r^2} \sin\theta\,\hat{\phi} \quad (r > a)$$

a)

[1.0 punts] Demostreu que a l'interior de l'esfera ($r < a$), el camp magnètic $\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}$ és uniforme, de mòdul constant i paral·lel a la magnetització $\vec{M}$. Escriviu l'expressió vectorial de $\vec{B}$ en funció de $\mu_0$ i $\vec{M}$ (o de $\mu_0$, $M$ i $\hat{k}$):

$\vec{B} =$

b)

[1.5 punts] Calculeu el flux del camp magnètic generat a través d'una superfície esfèrica tancada de radi $R > a$ concèntrica a la partícula. Comenteu el resultat per a $R < a$ i justifiqueu si el camp és solenoïdal.

$\Phi_B =$