Problema 3 (09/09/2011) · Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial UB 2010

Examen 9 de setembre de 2011. Problema 3 (2,5 punts). Caràcter conservatiu i circulació d'un camp

Es considera el camp vectorial a $\mathbb{R}^3$:$$\vec{a}(x, y, z) = yz(2x + y)\,\hat{i} + xz(x + 2y)\,\hat{j} + xy(x + y)\,\hat{k}$$

a)

[0.5 punts] Demostreu que $\vec{a}$ és un camp conservatiu.

Raoneu la conservativitat comprovant el rotacional del camp.

b)

[1.0 punts] Calculeu el potencial escalar del qual deriva.

c)

[1.0 punts] Calculeu la integral de línia $\int_C \vec{a} \cdot d\vec{r}$ sobre la corba parametritzada per:$$\vec{r}(t) = (1 + t)\,\hat{i} + (1 + 2t^2)\,\hat{j} + (1 + 3t^3)\,\hat{k}, \quad 0 \le t \le 1$$