Ejercicios de Matrius i sistemes d'equacions lineals

28 ejercicios de Matrius i sistemes d'equacions lineals de Matemáticas II que han salido en la Selectividad de Cataluña (PAU/Selectivitat) 2021-2026.

Exercici 2 · Juny Serie 1 2026

Discussió i interpretació geomètrica d'un sistema de tres equacions lineals a l'espai dependent d'un paràmetre real m, resolució per al cas m = 1 i possibilitat d'afegir una quarta equació per obtenir una solució determinada concreta.

Exercici 2 · Juny Serie 5 2026

Exercici 2 sobre matrius M i N dependents de k. 2.1) Valors de k per als quals MN és invertible. 2.2) Valors de k per als quals NM és invertible. 2.3) Valors de m, n i k per als quals el sistema M(x, y, z)^t = (m, n)^t és compatible indeterminat.

Exercici 2 · Setembre Serie 2 2026

Discutir en funció de k, resoldre per a tots els valors de k comprovant que per a k ≠ 1 la solució no depèn de k, i interpretar geomètricament el sistema d'equacions lineals format per 2x+ky+z=3, -x+2y+2z=1 i x+y+z=2.

Exercici 2 · Juny Serie 1 2025

Considereu el sistema d'equacions lineals amb paràmetre p: y - z = p + 3 p^2 x - z = 5 x - y = 3 a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre p. b) Resoleu el sistema per al cas p = -1. c) Per al cas p = -1, hi ha alguna solució que compleixi xy = 10? En cas afirmatiu, quantes i quines són?

Exercici 2 - Matrius i sistemes · Juny Serie 4 2025

Discutiu el sistema d'equacions lineals amb paràmetre a en funció del valor de a.

Exercici 4 - Opció B · Juny Serie 4 2025

Propietats i operacions amb matrius: commutació, existència d'inversa i condició A^{-1} = A.

Exercici 2 · Setembre Serie 3 2025

Exercici 2: Considereu el sistema d'equacions lineals amb paràmetre m. a) Discutiu el sistema per als diferents valors de m. b) Resoleu el sistema per a m = 1. c) Resoleu el sistema quan aquest tingui infinites solucions.

Problema 2 · Juny Serie 1 2024

Discussió i resolució d'un sistema d'equacions lineals de 3 equacions amb 3 incògnites que depèn d'un paràmetre k: discussió segons k i resolució per a k = 0, resolució per a k = -1, i modificació de la tercera equació perquè sigui incompatible.

Problema 2 · Juny Serie 5 2024

Considerades les matrius P, Q i R d'ordre 3x3, a) decidir si P és invertible i calcular P^{-1} explicant el procediment, i b) calcular la matriu X que compleix PX + Q = 2R.

Problema 2 · Setembre Serie 3 2024

Discutir un sistema lineal de 3 equacions amb 3 incògnites segons el paràmetre m. Trobar la solució per a m = 0. Trobar la solució per a m = 2 que compleixi x = 5y.

Problema 2 · Juny Serie 1 2023

Considereu les matrius A i B de dimensió 3x3. a) Calculeu A·B i B·A. b) Siguin C i D matrius que satisfan C·D = C i D·C = D. Comproveu que C i D són idempotents.

Problema 4 · Juny Serie 1 2023

Discutiu el sistema d'equacions lineals amb paràmetre λ i, per a λ = -1, resoleu-lo, interpreteu-lo geomètricament i identifiqueu la solució.

Problema 2 · Juny Serie 5 2023

Considereu el sistema d'equacions lineals amb paràmetre real k: x - y + kz = -1 x + ky + z = 3 2x + (k-1)y + 2z = 2 a) Discutiu el sistema en funció de k. b) Resoleu el sistema per a k = 0 i per a k = 1.

Problema 5 · Juny Serie 5 2023

Considereu la família S de matrius de la forma (a b; b a), a, b reals. a) Calculeu el producte de la matriu (2 3; 3 2) per la inversa de (2 1; 1 2). b) Trobeu totes les matrius de la família S que verifiquin A^2 = I.

Ejercicio Qüestió 1 · Setembre Serie 2 2023

Operacions amb matrius, càlcul de la inversa i resolució d'una equació matricial. Es demana comprovar (A - 2I)^2 = 3I, trobar A^(-1) en funció d'A i I, comprovar que és igual a B, i resoldre A · X = B.

Ejercicio Qüestió 3 · Setembre Serie 2 2023

3. Sigui el sistema d'equacions lineals amb m com a paràmetre: 2x + y = 1 + z my + z = 2 - x mz + 3 = 3x + y a) Discutiu el sistema segons els valors del paràmetre m. [1,25 punts] b) Resoleu el sistema, si té solució, per al cas m = 1. [1,25 punts]

Problema 2 · Juny Serie 2 2022

Considereu el sistema d'equacions lineals ax+2y+3z=2, 2x+ay+z=a, x+y+4z=1 depenent del paràmetre a. a) Discutiu el sistema per als diferents valors d'a. b) Resoleu, si és possible, el sistema per a a = 2.

Problema 5 · Juny Serie 2 2022

Operacions amb matrius dependents de paràmetres a, b, c: càlcul de les matrius X tals que X^2 = ((1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) i determinació de a, b, c perquè la inversa de X sigui X^(-1) = ((1/2, -1/2, -1/2), (0, 1, 1), (0, 0, -1)).

Ejercicio Qüestió 1 · Juny Serie 5 2022

Càlcul de potències de la matriu C d'ordre 2, comprovació que C^3 = I_2, deducció que C és invertible amb inversa C^-1 = C^2, càlcul de C^2022 i resolució de l'equació matricial C · X = A - 2·I_2.

Ejercicio Qüestió 3 · Juny Serie 5 2022

Discutiu el sistema d'equacions lineals per als diferents valors del paràmetre m. Resoleu el sistema quan m = 0 i quan m = 3, i determineu la posició relativa dels tres plans en cada cas.

Problema 3 · Setembre Serie 3 2022

Discussió del rang d'una matriu quadrada d'ordre 3 en funció del paràmetre a i resolució del sistema lineal homogeni associat per a = 2.

Problema 5 · Setembre Serie 3 2022

Sigui la matriu A depenent d'un paràmetre a. a) Calculeu els valors de a per als quals A és invertible. b) Per a a = 3, resoleu l'equació A · X = B - 3I, on B és una matriu diagonal donada.

Problema 2 · Juny Serie 2 2021

Considereu el sistema d'equacions lineals que depèn del paràmetre real p: { px + y + z = 2; 2x + py + p^2 z = 1; 2x + y + z = 2 }. a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre p. b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas p = 2.

Problema 5 · Juny Serie 2 2021

Exercici d'àlgebra matricial format per dos apartats: a) Donada la matriu A (d'ordre 3), resoldre l'equació matricial A²X = A - 3I; b) Donada la relació M³ - 3M² + 3M - I = 0, justificar que M és invertible i expressar la seva inversa M⁻¹ en funció de M i I.

Problema 1 · Juny Serie 5 2021

Considereu les matrius A, B i C d'ordre 2x2. a) Raoneu que B és invertible i calculeu B^-1. b) Calculeu la matriu X que satisfà la igualtat A + B·X = C·A.

Problema 5 · Juny Serie 5 2021

Discussió d'un sistema lineal amb paràmetre a de tres equacions i tres incògnites comprovant que és incompatible per a tot a, i interpretació geomètrica de la posició relativa dels tres plans (es tallen dos a dos en rectes paral·leles formant un prisma) amb dibuix esquemàtic.

Problema 1 · Setembre Serie 1 2021

Considereu el sistema d'equacions lineals que depèn del paràmetre real k: { x + ky + z = 3 + k; kx + y + z = 4; x + 3y + z = 5 } a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k. b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas k = 1, i feu-ne una interpretació geomètrica.

Problema 5 · Setembre Serie 1 2021

Estudi de la invertibilitat d'una matriu A de mida 3x3 segons un paràmetre a (apartat a) i resolució de l'equació matricial AX = B - 3I per al cas a = 3 (apartat b).

Otros temas de Matemáticas II

Exámenes oficiales en PDF y soluciones: examenselectivitat.cat