Ejercicios de Geometria de l'espai

18 ejercicios de Geometria de l'espai de Matemáticas II que han salido en la Selectividad de Cataluña (PAU/Selectivitat) 2021-2026. Con solución paso a paso.

Exercici 4 - OPCIÓ B · Juny Serie 1 2026

Exercici 4 (Opció B): Donats els punts P(1, 0, -1), Q(3, -2, 0) i R(1, 1, 1), calculeu l'equació del pla que els conté, comproveu que l'àrea del triangle PQR és 3√5/2 u², i determineu les condicions del punt S(x, y, z) perquè formin un tetraedre de volum 1.

Exercici 4 - Opció B · Juny Serie 5 2026

Exercici 4 (Opció B): Un braç robòtic mou un sensor des d'A(1,2,3) fins a B(5,3,7) sobre una peça al pla π: (x,y,z) = (6,1,1) + λ(1,1,0) + μ(0,0,1). 4.1. Distància que ha recorregut el sensor. 4.2. Distància de B al pla π. 4.3. Punt on xocaria amb la superfície seguint la mateixa recta.

Exercici 4 - Opció B · Setembre Serie 2 2026

Croquis 3D de la capsa: 4.1 Coordenades del quart vèrtex D de la tapa a partir d'A(1,1,1), B(4,1,5) i C(1,10,1), i càlcul de les longituds dels costats. 4.2 Distància d'un punt de la tapa al pla π: -4x + 3z = 24 (alçària de la capsa) i determinació d'un dels vèrtexs sobre π.

Exercici 4 - Opció B · Juny Serie 1 2025

Donat el pla π: x + y = 0. a) Calculeu el pla π' perpendicular a π que conté P(1, -1, 2) i Q(3, -3, 6). b) Calculeu l'equació paramètrica de la recta continguda en π' equidistant de P i Q.

Exercici 2 - Geometria de l'espai · Juny Serie 4 2025

Exercici 2 (apartats b i c): Estudi de la posició relativa dels tres plans en funció del paràmetre a, i per al cas en què la intersecció és una recta, càlcul del valor de a, d'un punt i d'un vector director d'aquesta recta.

Exercici 4 - Opció B · Setembre Serie 3 2025

Exercici 4 - Opció B: Càlcul de la distància d'un punt a un pla, determinació d'un pla paral·lel que conté el punt, distància entre plans paral·lels i determinació d'un segon pla paral·lel a la mateixa distància.

Problema 6 · Juny Serie 1 2024

Considerant els punts A = (1, 2, 3) i B = (-3, -2, 3): a) Calcular l'equació del pla mediador pi perpendicular a AB pel punt mitjà i justificar que d(P,A)=d(P,B); b) Calcular d(A, pi) i d(B, pi), i raonar si és casualitat que siguin iguals; c) Determinar si el triangle format amb C = (-7, 6, 3) és isòsceles i calcular…

Problema 6 · Juny Serie 5 2024

Considerades les rectes r i s a l'espai, es demana determinar la seva posició relativa, trobar l'equació implícita del pla paral·lel a ambdues que passa per l'origen, i calcular l'equació de la recta t que les talla perpendicularment.

Problema 6 · Setembre Serie 3 2024

Considerant el punt P = (1, 3, 0) i el pla π: x + 2y - 2z = -7: a) Trobar el punt d'intersecció de π amb la recta perpendicular r que passa per P. b) Calcular la distància d de P al pla π. c) Trobar l'equació d'un pla π' paral·lel a π que també estigui a distància d de P.

Problema 6 · Juny Serie 1 2023

Problema de geometria a l'espai. Es donen els plans π1: x + y = 3 i π2: x - z = -2, i el punt P(4, 1, 2). Es demana: a) Equació general del pla π3 perpendicular a π1 i π2 que passa per P. b) Equació vectorial de la recta r d'intersecció de π1 i π2. c) Punt Q de la recta r més proper a P (projecció ortogonal).

Problema 3 · Juny Serie 5 2023

Estudi de la posició relativa de dues rectes r i s a l'espai en funció d'un paràmetre m, i càlcul dels valors de m perquè la distància entre elles sigui √2 u.

Ejercicio Qüestió 5 · Setembre Serie 2 2023

Siguin r1: x - 1 = y = -z i r2: x = y = z. a) Calculeu l'equació paramètrica de la recta que talla perpendicularment r1 i r2. b) Calculeu la distància entre r1 i r2.

Problema 3 · Juny Serie 2 2022

Sigui la recta r: x=2+λ, y=-1+3λ, z=3+λ. a) Determineu la posició relativa respecte al pla π: x-2y+4z-4=0 i trobeu la distància o punt de tall. b) Calculeu l'equació de la recta s perpendicular a π que talla r en P amb primera coordenada 5 vegades més gran que la segona.

Ejercicio Qüestió 5 · Juny Serie 5 2022

Siguin els punts A = (0, 0, 1), B = (1, 1, 1), C = (-1, -1, 1) i D = (1, 0, 1). a) Comproveu que tres d'aquests punts estan alineats, determineu quins són i calculeu l'equació contínua i l'equació paramètrica de la recta que defineixen. b) Calculeu l'equació general o cartesiana del pla que determinen els quatre punts.

Problema 1 · Setembre Serie 3 2022

El pal central que sosté la carpa d'un circ se situa perpendicularment al terra π: x - z = 6 des del punt P = (30, 1, 0). Es demana: a) L'equació paramètrica de la recta que conté el pal. b) Les coordenades del punt de contacte Q amb el terra i la longitud del pal.

Problema 3 · Juny Serie 2 2021

Considereu el punt P = (-1, 3, 1), el pla π: x = y i la recta r: (x-1)/2 = y/3 = z-2. a) Trobeu les coordenades del punt P' simètric a P respecte al pla π. b) De tots els plans que contenen la recta r, trobeu l'equació cartesiana del que és perpendicular al pla π.

Problema 3 · Juny Serie 5 2021

Considerant els punts A=(1, a, 1), B=(a, 1, 2), C=(1, 1, 1) i D=(0, 0, 0), determinar el paràmetre a perquè siguin diferents i coplanaris, i calcular l'àrea del triangle format per A, B i C quan a = 2.

Problema 3 · Setembre Serie 1 2021

Donats els punts A=(3,1,1), B=(0,0,1), C=(4,1,2) i D=(1,1,t): a) Trobeu el valor de t per tal que els quatre punts siguin coplanaris. b) Trobeu el valor de t per tal que el tetraedre tingui un volum de 5 u³.

Otros temas de Matemáticas II

Exámenes oficiales en PDF y soluciones: examenselectivitat.cat