Ejercicios de Funcions II

42 ejercicios de Funcions II de Matemáticas II que han salido en la Selectividad de Cataluña (PAU/Selectivitat) 2021-2026. Con solución paso a paso.

Exercici 4 - OPCIÓ A · Juny Serie 1 2026

Problema d'optimització: repartir 10 m de barana entre un recinte circular i un de quadrat per minimitzar la suma de les dues àrees. Calcular la mida de la barana de cada recinte i la superfície mínima obtinguda.

Exercici 4 - Opció A · Juny Serie 5 2026

Exercici 4 (Opció A): Es dóna el punt (-1, -1) d'una funció f(x) i la gràfica de f'(x). 4.1. Equació de la recta tangent a f(x) en (-1, -1). 4.2. Punts crítics de f(x) i classificació (màxims, mínims, punts d'inflexió). 4.3. Càlcul de l'àrea entre f'(x) i l'eix d'abscisses entre x = -1 i x = 0 sabent f(0) = -0,2.

Exercici 1 · Setembre Serie 2 2026

Estudi de la funció f(x) = 5x / (x^2 + 1): domini, intervals de creixement i decreixement, màxims i mínims locals, asímptotes, esbós de la gràfica i recta normal en x = 2.

Exercici 4 - Opció A · Setembre Serie 2 2026

L'Aina construirà una capsa a partir d'un cartró rectangular de 80 cm x 50 cm. 4.1. Comproveu que el volum de la capsa és V(x) = 2x^3 - 130x^2 + 2000x. 4.2. Calculeu les dimensions de la capsa per tal que el volum sigui màxim i quin és aquest volum màxim.

Exercici 1 - Funcions II · Juny Serie 1 2025

Exercici 1 apartats b i c: Calculeu les equacions de les rectes tangents a f(x) en x=0 i x=2 i justifiqueu si són paral·leles. Determineu si hi ha algun punt on la tangent tingui pendent 1.

Exercici 3 - Funcions II · Juny Serie 1 2025

Considereu la funció f(p) = 5(p^4 - p^5) de l'apartat anterior. Determineu el valor màxim que pren f(p) quan p >= 0.

Exercici 1 - Funcions II · Juny Serie 4 2025

Exercici 1 (apartats b i c): Resolució de f'(x)=0, estudi de creixement i decreixement i extrems locals de f(x)=+sqrt(1+x^3). Càlcul del valor de a per al qual (a,3) pertany a la funció i determinació de la recta tangent en aquest punt.

Exercici 4 - Opció A · Juny Serie 4 2025

Problema d'optimització de la superfície d'una ampolla formada per un cilindre i una semiesfera.

Exercici 1 · Setembre Serie 3 2025

Exercici 1: Trobar l'equació de la recta r que passa per P(1,1) amb pendent m, comprovar l'expressió de l'àrea d'un terreny triangular delimitat per les rectes y=0 i y=3x, i calcular el pendent m que minimitza l'àrea així com el valor de l'àrea mínima.

Exercici 3 - Funcions · Setembre Serie 3 2025

Calculeu els valors de a, b i c de la funció f(x) = ax³ + bx² + cx sabent que el primer any es va obtenir un màxim relatiu amb un valor de 8 000 euros, i que el segon any hi va haver un punt d'inflexió.

Problema 1 · Juny Serie 1 2024

Estudi de màxims, mínims, creixement, asímptotes, gràfica i recta tangent de f(x) = 2 ln(x)/x per a x > 0.

Problema 5 · Juny Serie 1 2024

Optimització del cost de construcció d'un cobert prismàtic rectangular de volum fix.

Ejercicio 1 - Estudi i representació gràfica · Juny Serie 5 2024

Apartats b i c: Estudi de la monotonia i extrems relatius de f(x) = -2 + 10(x - 1) ln x a partir del signe de la derivada; càlcul dels límits quan x -> 0+ i x -> +infinit; i esbós gràfic de la funció.

Ejercicio 3 - Recta tangent · Juny Serie 5 2024

Considereu les paràboles y = fa(x), amb fa(x) = ax^2 + 2x + 5 - a, on a és un paràmetre real. Determineu el valor del paràmetre a per al qual la recta tangent a y = fa(x) en el punt d'abscissa x = 1 passa pel punt (2, 13).

Problema 5 · Juny Serie 5 2024

Problema d'optimització de l'àrea d'un decorat teatral compost per un rectangle i dos semicercles subjecte a una restricció de perímetre de 10 m.

Ejercicio 1 - Creixement i extrems · Setembre Serie 3 2024

Estudiar les zones de creixement i decreixement, màxims i mínims de f(x) = 3x^13 + 5x^3 + 2, i justificar quants punts de tall té exactament amb l'eix d'abscisses.

Problema 5 · Setembre Serie 3 2024

Per a cada punt (x, y) de la corba y = e^(-2x) amb x > 0 i y > 0, es considera el rectangle amb vèrtexs a (0,0), (x,0), (0,y) i (x,y). a) Comprovar que el rectangle amb x = 1/2 té àrea màxima i calcular el valor d'aquesta àrea. b) Calcular l'equació de la recta tangent a la corba en x = 0 i el punt de tall amb l'eix…

Problema 1 · Juny Serie 1 2023

Calculeu els coeficients a, b, c i d de la funció f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d si sabem que l'equació de la recta tangent a la gràfica de f en el punt d'inflexió (1, 0) és y = -3x + 3 i que té un extrem relatiu en x = 0.

Ejercicio 3 - Funcions II · Juny Serie 1 2023

Calculeu l'equació de la recta tangent a la funció f'(x) en el punt d'abscissa x = 3.

Problema 5 · Juny Serie 1 2023

Problema d'optimització: calcular les dimensions i el cost mínim d'un tancat rectangular de 8 m² adossat a un mur (preu 2,5 €/m), i calcular l'estalvi si s'adossa a una cantonada (dos murs).

Ejercicio 1 - Funcions II · Juny Serie 5 2023

Trobeu l'equació de la recta tangent a la funció f(x) = -x^2 + x + 6 en el punt (-2, 0). Representeu aquesta recta tangent i les funcions f(x) i g(x) = -9x + 3x^2 en uns mateixos eixos de coordenades.

Problema 4 · Juny Serie 5 2023

Determinar a quina distància de l'encreuament O a la carretera principal cal situar la torre T perquè el preu del cablejat que connecta amb els pobles A i B sigui mínim, i calcular el valor d'aquest preu mínim.

Problema 6 · Juny Serie 5 2023

Funció racional f(x)=(ax^2+x+b)/(x^2+1). a) Trobeu a i b sabent que f té un extrem relatiu a x=-1 i passa per (-2, 13/5). b) Per al cas a=b, calculeu i classifiqueu els extrems relatius.

Ejercicio Qüestió 2 · Setembre Serie 2 2023

Sigui f(x) = 1/x. a) Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica en x = 2. b) Calculeu l'equació de la recta tangent en x = k (k > 0). c) Comproveu que la recta determina amb els semieixos positius un triangle d'àrea constant i calculeu aquesta àrea.

Ejercicio Qüestió 6 · Setembre Serie 2 2023

Optimització de l'àrea d'una secció trapezial isòsceles. Es demana expressar l'altura en funció de x, calcular el valor de x que fa màxima l'àrea i trobar el valor de l'àrea màxima.

Ejercicio 1 - Funcions II · Juny Serie 2 2022

Calculeu l'abscissa del punt d'inflexió de f(x) i estudieu la concavitat de la funció, a partir de f'(x) = 3x^2 - 12x.

Ejercicio 4 - Funcions II · Juny Serie 2 2022

Trobeu una funció polinòmica y = g(x) de grau 3 tal que talli l'eix de les ordenades en (0, 5), que la recta tangent en x = 1 sigui horitzontal i que g''(x) = 2x + 1.

Problema 6 · Juny Serie 2 2022

Problema d'optimització d'un trapezi rectangular d'àrea 30 m^2: deduir les relacions h = 20/x i D(x) = sqrt(400/x^2 + x^2), i trobar les dimensions perquè el costat oblic D sigui mínim.

Ejercicio Qüestió 2 · Juny Serie 5 2022

Per a la funció f(x) = x³ i a > 0: a) Trobeu l'equació de la recta t tangent a f en x = a i el punt de tall de t amb l'eix d'abscisses. b) Feu un esbós de f i t, i calculeu a perquè l'àrea en el primer quadrant limitada per f, t i l'eix d'abscisses sigui 108 u².

Ejercicio Qüestió 4 · Juny Serie 5 2022

A R², es consideren els triangles rectangles amb vèrtexs O=(0,0), A=(x,0) i B=(0,y) (x>0, y>0), on la suma dels catets és 10. a) Expressar l'àrea en funció de x, trobar el valor de x que fa l'àrea màxima i calcular aquesta àrea màxima. b) Expressar la hipotenusa en funció de x, trobar el valor de x que la fa mínima i…

Problema 2 · Setembre Serie 3 2022

Estudi complet d'una funció racional f(x) = 9/(x^2 + x - 2): domini, asímptotes verticals i horitzontals, màxim relatiu, intervals de creixement i decreixement, equació de la recta tangent en x = 4 i representació gràfica.

Problema 6 · Setembre Serie 3 2022

Problema d'optimització geomètrica: expressió de la funció de distància total d'un cable L(h) entre A=(2,0,2), C=(0,0,h) i B=(0,2,1), i determinació de la posició del punt C i la longitud mínima del cable.

Problema 1 · Juny Serie 2 2021

Problema 1: Considereu la paràbola y = 4 - x^2 i un valor a > 0. a) Comproveu l'equació de la recta tangent en x = a (y = -2ax + a^2 + 4) i calculeu els punts de tall amb els eixos coordenats. b) Calculeu el valor de a > 0 perquè l'àrea del triangle format per la recta tangent i els eixos sigui mínima.

Ejercicio 4 - Funcions II · Juny Serie 2 2021

Trobeu les coordenades d'un punt de la corba y=ln(x)/x en el qual la recta tangent a la corba sigui horitzontal i analitzeu si la funció té un extrem relatiu en aquest punt.

Problema 6 · Juny Serie 2 2021

Considereu la funció f(x) = e^(x-1) - x - 1. a) Estudieu-ne la continuïtat, els extrems relatius i els intervals de creixement i decreixement. b) Demostreu que l'equació f(x) = 0 té exactament dues solucions entre x = -1 i x = 3.

Ejercicio 2 - Funcions II · Juny Serie 5 2021

Estudi dels intervals de creixement i decreixement de la funció f(x) = x^3 - 9x.

Problema 4 · Juny Serie 5 2021

Problema d'optimització de la resistència al trencament R = k·x·y^2 d'una biga de secció rectangular tallada a partir d'un tronc cilíndric de diàmetre d. a) Comprovar que R = kx(d^2 - x^2). b) Calcular les dimensions de resistència màxima i el valor d'aquesta resistència.

Ejercicio 6.a · Juny Serie 5 2021

Donada la funció f(x) = 2x³ + mx² + nx + p amb extrems relatius en x = -3 i x = 1, i que passa pel punt (3, 4), calculeu els valors de m, n i p.

Ejercicio 6.b · Juny Serie 5 2021

Calculeu l'equació de la recta tangent a la funció f(x) = (1-x)/(1+x) en x = -3.

Ejercicio 2 - Recta tangent i normal · Setembre Serie 1 2021

Donada la funció f(x) = 4/x, calculeu l'equació de la recta tangent i de la recta normal a y = f(x) en el punt d'abscissa x = 1.

Problema 4 · Setembre Serie 1 2021

a) Donada la gràfica de f(x), representar esquemàticament la funció derivada f'(x) i explicar el raonament. b) Trobar a i b perquè g(x) = ax^3 + bx^2 + 1 tingui punt d'inflexió en x = 1/2 i derivada en aquest punt igual a -3/2.

Ejercicio 6 - Punts crítics i creixement · Setembre Serie 1 2021

Estudi de punts crítics i intervals de creixement i decreixement de la funció f(x) = x^3 / (x - 2).

Otros temas de Matemáticas II

Exámenes oficiales en PDF y soluciones: examenselectivitat.cat