Problema 2 · Matemáticas II Selectividad Cataluña Juny Serie 1 2023

Tema: Matrius i sistemes d'equacions lineals · Del examen Juny Serie 1 (2023)

Enunciado

Considereu les dues matrius següents:

A=(2−3−5−1451−3−4),B=(220−1−10121)A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

a)

Calculeu les matrius A⋅BA \cdot B i B⋅AB \cdot A. [1,5 punts]

b)

Siguin CC i DD dues matrius quadrades del mateix ordre que satisfan C⋅D=CC \cdot D = C i D⋅C=DD \cdot C = D. Comproveu que les dues matrius, CC i DD, són idempotents. [1 punt]

NOTA: Una matriu quadrada s'anomena idempotent si coincideix amb el seu quadrat.

Enunciado: Problema 2 · Matemáticas II Selectividad Cataluña Juny Serie 1 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Element (1,1) de A·B

Solución: 2

a) Element (1,2) de A·B

Solución: -3

a) Element (1,3) de A·B

Solución: -5

a) Element (2,1) de A·B

Solución: -1

a) Element (2,2) de A·B

Solución: 4

a) Element (2,3) de A·B

Solución: 5

a) Element (3,1) de A·B

Solución: 1

a) Element (3,2) de A·B

Solución: -3

a) Element (3,3) de A·B

Solución: -4

a) Element (1,1) de B·A

Solución: 2

a) Element (1,2) de B·A

Solución: 2

a) Element (1,3) de B·A

Solución: 0

a) Element (2,1) de B·A

Solución: -1

a) Element (2,2) de B·A

Solución: -1

a) Element (2,3) de B·A

Solución: 0

a) Element (3,1) de B·A

Solución: 1

a) Element (3,2) de B·A

Solución: 2

a) Element (3,3) de B·A

Solución: 1

b) Siguin C i D dues matrius quadrades del mateix ordre que satisfan C · D = C i D · C = D. Comproveu que les dues matrius, C i D, són idempotents.

Solución: C² = C·C = (C·D)·C = C·(D·C) = C·D = C D² = D·D = (D·C)·D = D·(C·D) = D·C = D

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