Problema 5 · Matemáticas II Selectividad Cataluña Juny Serie 5 2021

a) Comproveu que, per a qualsevol valor del paràmetre a, el sistema d'equacions lineals no té solució.

Solución: El determinant de la matriu del sistema és 0 per a qualsevol $a$, per tant $\text{rang}(M) = 2$. Un menor d'ordre 3 de la matriu ampliada val $-21 \neq 0$, de manera que $\text{rang}(\overline{M}) = 3$. Com que $\text{rang}(M) \neq \text{rang}(\overline{M})$, pel teorema de Rouché-Frobenius el sistema és incompatible i no té solució.

b) Interpreteu geomètricament el sistema d'equacions lineals.

Solución: Cadascuna de les tres equacions correspon a un pla. Com que el sistema és incompatible, no hi ha cap punt comú als tres plans. Com que cap parell de vectors normals és proporcional, no hi ha plans paral·lels ni coincidents: els tres plans es tallen dos a dos en tres rectes paral·leles.

Feu un dibuix esquemàtic que representi la posició relativa dels tres plans.

Solución: Dibuix esquemàtic de tres plans que es tallen dos a dos segons tres rectes paral·leles, formant una figura prismàtica triangular oberta.