Problema 5 · Matemáticas II Selectividad Cataluña Juny Serie 2 2022

5. Sigui la matriu $X = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & b & 1 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}$, que depèn dels paràmetres $a$, $b$ i $c$.

a)

Calculeu les matrius $X$ tals que $X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. [1,5 punts]

Hi ha dues solucions possibles per als paràmetres $(a, b, c)$. Indiqueu cadascuna d'elles:

Primer conjunt de valors:

$a_1 =$

$b_1 =$

$c_1 =$

Segon conjunt de valors:

$a_2 =$

$b_2 =$

$c_2 =$

b)

Determineu els valors de $a$, $b$ i $c$ perquè la matriu inversa de $X$ sigui $X^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$. [1 punt]

$a =$

$b =$

$c =$