Ejercicios de Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales

19 ejercicios de Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales de Matemáticas II que han salido en la Selectividad de Aragón (PAU/EvAU) 2021-2026.

Problema 3 · Extraordinaria 2026

Para matrices cuadradas 4x4 con M·A = I + N·A: a) Justificar que A es regular. b) Calcular A^{-1} dadas M y N.

Problema 1 · Ordinaria 2026

En un ecosistema interactúan tres especies cuyas poblaciones siguen la relación matricial dada por M. a) Calcular los ejemplares tras 2 meses si inicialmente hay 100 de A, 124 de B y 234 de C. b) Razonar la relación con M^k. c) Calcular M^k y deducir la evolución temporal.

Ejercicio 2.2 · Extraordinaria 2025

Dada la matriz 4x4 A triangular por bloques, a) estudiar si existen matrices columna no nulas B y C tales que AB = -B y AC = B - C, y calcular su expresión general. b) Demostrar que si AD = D entonces A^(-1) D = D.

Problema 1 · Ordinaria 2025

Encriptación y desencriptación del mensaje “HOLA” mediante una matriz de encriptado ME de tamaño 4x4 y correspondencia numérica de las letras del alfabeto.

Problema 5 · Extraordinaria 2024

De una matriz B se sabe que cumple una ecuación matricial con matrices 3x3 e I_3. Estudia si B tiene inversa y calcula su inversa.

Problema 5 · Ordinaria 2024

Dadas las matrices A y B de orden 3x2, y C = A^T * B + I_2: (a) Calcula C^(2n), con n natural. (b) Resuelve la ecuación C * X = 5(A^T * B).

Problema 5 · Extraordinaria 2023

Dada la matriz A = ((1, -1, m), (2, m, m+2), (m-1, 2, 1)): a) Discute el rango de A según los valores de m ∈ ℝ. b) Calcula la inversa de la matriz A para el valor m = 1.

Problema 6 · Extraordinaria 2023

Sabiendo que el determinante de la matriz con filas (1, 2, 3), (4, 0, 5) y (a, b, c) es 1/2, calcula razonadamente el determinante de la matriz A = ((4a+2, 4b+4, 4c+6), (3a, 3b, 3c), (a+4, b, c+5))^2.

Problema 5 · Ordinaria 2023

Sean las matrices A, B, C de dimensiones 3x2 y 2x2. a) Estudia si la matriz D = A·B^T - 2I tiene inversa y, en caso afirmativo, calcúlala. b) Resuelve la ecuación matricial C·X = A^T·B.

Problema 7 · Ordinaria 2023

Dadas las matrices A = ((1, 1), (-1, -2)) y B = ((-3, 5), (2, 1)), calcular A^n para n natural y resolver la ecuación matricial (A + 2I)X = B.

Problema 5 · Extraordinaria 2022

Dada la matriz A = ((1, k), (-1, k+1)): a) Determina k en R para que A^2 = 3I. b) Calcula, para k = 0, la matriz B^n con B = 2A - I, siendo I la identidad de orden 2 y n en N.

Problema 6 · Extraordinaria 2022

Dadas las matrices A (3x2), B (3x2) y C (3x3), estudiar según m el rango de P = AB^T + C y calcular P^-1 para m = 1.

Problema 5 · Ordinaria 2022

Dada la matriz A = ((1, -1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1)): a) Resuelve la ecuación matricial AX - 2I = A^2. b) Analiza el rango de A - mB según los valores de m, siendo B = ((0, -1, 0), (1, 0, 1), (0, -1, 0)).

Problema 6 · Ordinaria 2022

a) Sabiendo que |(1, 1, 1), (x, y, z), (a, b, c)| = -2, calcula justificadamente el determinante de |(-a+2, -c+2, -b+2), (x/2, z/2, y/2), (3, 3, 3)|. b) Comprueba que la matriz B = ((3, 2, 0), (0, 1, -1), (5, 3, -1)) es invertible y calcula su inversa.

Problema 5 · Extraordinaria 2021

Dada la matriz P, se define A = I + P. En el apartado a) se pide estudiar el rango de la matriz A según los valores del parámetro k. En el apartado b) se pide calcular la inversa de A para k = 1.

Problema 6 · Extraordinaria 2021

Dadas las matrices B, C1 y C2: a) Compruebe que B tiene inversa y calcúlela. b) Resuelva la ecuación matricial I + BX = C1*C2.

Problema 5 · Ordinaria 2021

Dada la matriz A, estudiar el rango de A - kI según los valores de k real y calcular la inversa de A - kI para k = 0.

Problema 6 · Ordinaria 2021

a) Calcular justificadamente el valor de un determinante aplicando sus propiedades a partir de otro dado. b) Resolver la ecuación matricial (A - 1/2 A^T) X = B.

Problema 7 · Ordinaria 2021

a) Resuelva el sistema matricial 2X + 3Y = [[-1, 2], [3, 7]], 3X - 2Y = [[5, 3], [-2, 4]]. b) Calcule [[2, 0], [-1, 1]]^n para n natural.

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