Pregunta 2 · Matemáticas II PAU Asturias Ordinaria 2024

Tema: Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Del examen Ordinaria (2024)

Enunciado

Pregunta 2. Sea x∈Rx \in \mathbb{R} y las matrices A=(−1−2−2−2−3012x)A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -3 & 0 \\ 1 & 2 & x \end{pmatrix}.

(a)

(1.5 puntos) Da el rg⁡(A)\operatorname{rg}(A) según los valores de xx. Para x=1x = 1, comprueba que existe A−1A^{-1} y calcúlala.

(b)

(1 punto) Toma x=1x = 1. Supongamos que BB es una matriz 3×33 \times 3 con det⁡(B)=5\det(B) = 5. Calcula det⁡(AB)\det(AB). Razona cuál debe ser el valor de det⁡(15AB)\det\left(\frac{1}{5}AB\right).

Enunciado: Pregunta 2 · Matemáticas II PAU Asturias Ordinaria 2024

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

(a) Da el rg(A) según los valores de x. Para x = 1, comprueba que existe A^{-1}

Solución: Si x≠2x \neq 2, rg⁡(A)=3\operatorname{rg}(A) = 3. Si x=2x = 2, rg⁡(A)=2\operatorname{rg}(A) = 2. Para x=1x = 1, det⁡(A)=1≠0\det(A) = 1 \neq 0, por lo que existe A−1A^{-1}.

Elemento (1,1) de A^{-1}

Solución: -3

Elemento (1,2) de A^{-1}

Solución: -2

Elemento (1,3) de A^{-1}

Solución: -6

Elemento (2,1) de A^{-1}

Solución: 2

Elemento (2,2) de A^{-1}

Solución: 1

Elemento (2,3) de A^{-1}

Solución: 4

Elemento (3,1) de A^{-1}

Solución: -1

Elemento (3,2) de A^{-1}

Solución: 0

Elemento (3,3) de A^{-1}

Solución: -1

(b) Calcula det(AB)

Solución: 5

(b) Calcula det((1/5)AB)

Solución: 1/25 / 0.04

(b) Razonamiento de det(AB) y det((1/5)AB)

Solución: det(AB) = det(A)det(B) y det((1/5)AB) = (1/5)^3 det(AB)

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