Ejercicio P1 · Matemáticas II PAU Baleares Extraordinaria 2024

Siguin les matrius

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{i} \quad C = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}.$$

a)

[3 punts] Calcula la matriu $M = A^T A - B B^T$, on $A^T$ i $B^T$ representen les matrius transposades de $A$ i $B$ respectivament.

$($

$)$

b)

[3 punts] Justifica si $M$ és o no invertible. En cas afirmatiu, resol els sistemes d'equacions

$$M \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{i} \quad M \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},$$

per tal de calcular la inversa de la matriu $M$. Comprova que la matriu $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, per als valors de $a, b, c$ i $d$ calculats, és la matriu inversa de $M$.

$($

$)$

c)

[4 punts] Calcula la matriu $X$ que compleix la igualtat $XM + A = C$.

$($

$)$