Problema 2 · Matemáticas II PAU Murcia Extraordinaria 2024

a) Estudie si la matriz $\begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & 1/2 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix}$ es ortogonal o no

Solución: Sí

a) Estudie si la matriz $\begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & 1/2 \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 \end{pmatrix}$ es ortogonal o no

Solución: No

b) Si $A$ es una matriz ortogonal cualquiera de orden 2, calcule razonadamente su determinante.

Solución: $\pm 1$ / $1$ y $-1$

c) Justifique que si $A$ y $B$ son dos matrices ortogonales cualesquiera de orden 2, entonces el producto $C = A \cdot B$ también lo es.

Solución: Vamos a justificar que la matriz $C = A \cdot B$ es ortogonal comprobando que cumple la condición $C \cdot C^t = I$. Para ello, debemos tener en cuenta que $C^t = (A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t$. Por lo tanto, haciendo uso de esto y de la propiedad asociativa del producto de matrices, se tiene $C \cdot C^t = (A \cdot B) \cdot (B^t \cdot A^t) = A \cdot (B \cdot B^t) \cdot A^t = A \cdot I \cdot A^t = A \cdot A^t = I$, ya que $B \cdot B^t = I$ y $A \cdot A^t = I$, por ser $A$ y $B$ ortogonales. Con ello se concluye que $C$ también es ortogonal.