Ejercicios de Vectores en el espacio: dependencia lineal, productos, áreas y volúmenes

12 ejercicios de Vectores en el espacio: dependencia lineal, productos, áreas y volúmenes de Matemáticas II que han salido en la Selectividad de Aragón…

Problema 1 · Extraordinaria 2026

Determinar si una silla cojeará o apoyará sus cuatro patas sobre el suelo plano a partir de las coordenadas de los extremos inferiores de las patas: A(-2, 3, 120), B(20, 42, 120), C(-1, 4, 165) y D(20, 43, 165).

Problema 1 · Extraordinaria 2025

Estructura de tetraedro con base en A(0,0,0), B(2,0,1/2), C(3/2,3,1) y vértice D en el segmento entre E(0,1,3) y F(3,2,3), con D = E + λ EF y λ ∈ [0,1]. a) Calcular el volumen máximo en m³. b) Calcular la altura de la estructura desde D a la base si λ = 1.

Ejercicio 2.1 · Ordinaria 2025

Sean u y v vectores no nulos de R^3 perpendiculares entre sí y w = u x v. Determinar si a = (u x v) + w, b = v x (v x w) y c = u · (v x w) son vectores o escalares, y estudiar para los vectores si son paralelos o perpendiculares a u, v y w.

Problema 9 · Extraordinaria 2024

Sean A(1, 2, 3), B(1, 0, -1) y C(2, 2, 2) tres puntos en el espacio y v1 el vector que va de A a B; v2 el vector que va de B a C y v3 el vector que va de C a A. (a) Estudia si los vectores v1, v2 y v3 son linealmente independientes. (b) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son A, B, C.

Problema 8 · Ordinaria 2024

Dados los puntos P1(-2, 1, 1), P2(0, a, -2), P3(-1, 1, -1) y P4(1, 3, -3): a) Calcula los valores de a ∈ ℝ para que el tetraedro con vértices P1, P2, P3 y P4 tenga volumen 1/3. b) Calcula el valor de a ∈ ℝ para que los cuatro puntos sean coplanarios.

Problema 8 · Extraordinaria 2023

Dados tres vectores u, v, w linealmente independientes: a) Comprueba si r = u - v - 2w, s = u + 3w, t = 2u - v + w son linealmente dependientes o independientes. b) Calcula razonadamente 3s x (t - r).

Problema 8 · Ordinaria 2023

El plano 2x + by - 2z + 4 = 0 corta a los ejes coordenados en A, B y C. Hallar los valores de b para que el área del triángulo ABC sea 6 u^2.

Problema 9 · Ordinaria 2023

Dados {u, v, w} linealmente independientes, comprobar si r = 2u + w, s = u + v - w y t = -3u - v + w son l.d. o l.i. Y calcular u·r + v·s + w·t si u, v, w son ortonormales.

Problema 8 · Extraordinaria 2022

El volumen de un tetraedro es de 10 u³. Tres de sus vértices son A(1,1,1), B(-2,1,0) y C(0,1,3). Halla las posibles coordenadas del vértice D sabiendo que pertenece al eje Y.

Ejercicio 8 b) - Dependencia lineal de vectores · Ordinaria 2022

Dado el vector v = (2, k, 2k), calcula el valor k en R para que v y los vectores directores de las rectas r1 (director (3, 1, 1)) y r2 (director (6, -2, 1)) sean linealmente dependientes.

Problema 9 · Ordinaria 2022

a) Dados v1 = a u1 - 2 u2 + 3 u3 y v2 = -u1 + a u2 + u3, con {u1, u2, u3} base ortonormal, determina a en R para que v1 y v2 sean ortogonales. b) Calcula el volumen del tetraedro formado por v1, v2 y v3 = v1 + v2 siendo v1 = (1, 0, -2) y v2 = (3, 1, 0).

Problema 9 · Ordinaria 2021

Compruebe si {v_1, v_2, v_3} son linealmente dependientes o independientes, y calcule (2u_1 - u_2) · (2u_1 - u_2) y (u_4 - u_1) x (u_4 - u_1).

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