Ejercicio 2.2 - Matrices · Matemáticas II PAU Valencia Ordinaria solapamiento 2026

2.2 Una entidad financiera utiliza modelos matriciales para simular el riesgo de una cartera de inversión compuesta por dos tipos de activos. La matriz de simulación es

$$A = \begin{pmatrix} 1-a & 1 \\ 1 & 1+a \end{pmatrix},$$

donde $a$ es un parámetro real de ajuste que refleja la volatilidad histórica del mercado.

2.2.1

(1 punto) El riesgo optimo se obtiene cuando se verifica la ecuación $A^2 - I = 2A$, donde $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Determinar para qué valores de $a$ se optimiza el riesgo.

2.2.2

(1.5 puntos) En determinadas condiciones de mercado, resulta conveniente invertir la simulación deshaciendo los cálculos previamente realizados. Para ello se necesita que la matriz de simulación admita inversa. Obtener los valores de $a$ para los cuales se cumple esta última condición y calcular la inversa de la matriz de simulación en función del parámetro $a$.