Problema 2 · Matemáticas II PAU Murcia Extraordinaria 2023

a) Justifique razonadamente que una matriz 2-nilpotente nunca puede ser regular (o invertible).

Solución: Una matriz cuadrada $A$ es regular si y sólo si $|A| \neq 0$. Si $A^2 = 0$, entonces $|A^2| = |A|^2 = 0 \implies |A| = 0$, luego no puede ser regular.

b) Compruebe que la matriz $A = \begin{pmatrix} 3 & -9 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ es 2-nilpotente.

Solución: $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

c) Valor de $a$

Solución: -9

c) Valor de $b$

Solución: -6