Problema B2 · Matemáticas II PAU Baleares Ordinaria 2025

Problema B2. — Siguin $A$ i $B$ dues matrius $3\times 3$ tals que $A$ és invertible. Sigui $I$ la matriu identitat de dimensió $3\times 3$.

(a)

[1 punt] Sabent que $AB + I = A$, calcula la inversa de $A$ en funció de $I$ i $B$.

(b)

[1.5 punts] Sabent que $A$ i la seva inversa $A^{-1}$ són tals que

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ -3 & -1 & 1 \end{pmatrix},$$

calcula la matriu $B$ que satisfà la igualtat $AB + I = A$. És $B$ invertible? Justifica la resposta.

Sí

No