Problema 6 · Matemáticas II PAU Aragón Extraordinaria 2022

Tema: Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Del examen Extraordinaria (2022)

Enunciado

Dadas las siguientes matrices:

A=(1−m−122mm−11),B=(100110),C=(111011001)A = \begin{pmatrix} 1-m & -1 \\ 2 & 2m \\ m-1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

a)

[1 punto] Estudia, según los valores de m∈Rm \in \mathbb{R}, el rango de la matriz P=ABT+CP = AB^T + C, donde BTB^T es la matriz traspuesta de BB.

b)

[1 punto] Para el valor m=1m = 1, calcula la inversa de la matriz PP del apartado anterior.

Enunciado: Problema 6 · Matemáticas II PAU Aragón Extraordinaria 2022

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Estudia, según los valores de m ∈ ℝ, el rango de la matriz P = AB^T + C, donde B^T es la matriz traspuesta de B.

Solución: Si m≠0m \neq 0 y m≠2m \neq 2, rg⁡(P)=3\operatorname{rg}(P) = 3. Si m=0m = 0 o m=2m = 2, rg⁡(P)=2\operatorname{rg}(P) = 2.

b) Para el valor m = 1, calcula la inversa de la matriz P del apartado anterior.

Solución: P−1=(7/21/2−31/21/2−1−4−13)P^{-1} = \begin{pmatrix} 7/2 & 1/2 & -3 \\ 1/2 & 1/2 & -1 \\ -4 & -1 & 3 \end{pmatrix}

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