Ejercicio P2 · Matemáticas II PAU Baleares Extraordinaria 2024

Tema: Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Del examen Extraordinaria (2024)

Enunciado

P2. — Sigui I3I_3 la matriu identitat d'ordre 3×33 \times 3 i AA la matriu

A=(100200−211).A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

(a)

[4 punts] Calcula la matriu B=3A−kI3B = 3A - kI_3, indicant la seva expressió en funció del paràmetre real kk.

$\begin{pmatrix}

\text{[b00]} & \text{[b01]} & \text{[b02]} \\

\text{[b10]} & \text{[b11]} & \text{[b12]} \\

\text{[b20]} & \text{[b21]} & \text{[b22]}

\end{pmatrix}$

(b)

[4 punts] Discuteix el rang de la matriu BB segons el paràmetre kk.

(c)

[2 punts] Per a quins valors de kk es pot calcular la inversa de BB? Justifica la resposta.

Enunciado: Ejercicio P2 · Matemáticas II PAU Baleares Extraordinaria 2024

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

(a) Element B_11 de la matriu B = 3A - kI_3

Solución: 3−k3 - k

(a) Element B_12 de la matriu B = 3A - kI_3

Solución: 0

(a) Element B_13 de la matriu B = 3A - kI_3

Solución: 0

(a) Element B_21 de la matriu B = 3A - kI_3

Solución: 6

(a) Element B_22 de la matriu B = 3A - kI_3

Solución: −k-k

(a) Element B_23 de la matriu B = 3A - kI_3

Solución: 0

(a) Element B_31 de la matriu B = 3A - kI_3

Solución: -6

(a) Element B_32 de la matriu B = 3A - kI_3

Solución: 3

(a) Element B_33 de la matriu B = 3A - kI_3

Solución: 3−k3 - k

(b) Discuteix el rang de la matriu B segons el paràmetre k.

Solución: Si k≠0k \neq 0 i k≠3k \neq 3, Rang⁡(B)=3\operatorname{Rang}(B) = 3. Si k=0k = 0, Rang⁡(B)=2\operatorname{Rang}(B) = 2. Si k=3k = 3, Rang⁡(B)=1\operatorname{Rang}(B) = 1.

(c) Valors de k per als quals es pot calcular la inversa de B

Solución: k∈R∖{0,3}k \in \mathbb{R} \setminus \{0, 3\} / k≠0k \neq 0 i k≠3k \neq 3

(c) Justificació de la invertibilitat de B

Solución: det⁡(B)≠0\det(B) \neq 0 / Rang⁡(B)=3\operatorname{Rang}(B) = 3

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