Ejercicio P2 · Matemáticas II PAU Baleares Ordinaria 2024

Tema: Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Del examen Ordinaria (2024)

Enunciado

P2. — Considerem les matrius AA de dimensió 3×33 \times 3 que satisfan que 3A+I=A23A + I = A^2, on II és la matriu identitat de dimensió 3×33 \times 3.

(a)

[3 punts] Calcula l'expressió de la matriu inversa de AA.

(b)

[3 punts] Donada l'equació matricial

A+3AX=5I,A + 3AX = 5I,

on AA és una de les matrius de l'enunciat. Calcula, en funció només de la matriu AA (no de la seva inversa) i de la identitat II, la matriu XX. Quina dimensió té la matriu XX? Justifica la resposta.

(c)

[4 punts] Calcula totes les matrius de la forma

A=(a101b000c)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}

que satisfan les condicions de l'enunciat.

Enunciado: Ejercicio P2 · Matemáticas II PAU Baleares Ordinaria 2024

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

(a) [3 punts] Calcula l'expressió de la matriu inversa de A.

Solución: A−3IA - 3I

(b) [2 punts per aïllar X] Donada l'equació matricial A + 3AX = 5I, calcula, en funció només de la matriu A i de la identitat I, la matriu X.

Solución: 13(5A−16I)\frac{1}{3}(5A - 16I) / (5A−16I)/3(5A - 16I)/3

(b) [1 punt] Quina dimensió té la matriu X? Justifica la resposta.

Solución: Dimensió 3×33 \times 3. La matriu XX és de dimensió 3×33 \times 3 per ser la resta de dues matrius d'aquesta mida.

(c) [4 punts] Calcula totes les matrius de la forma A que satisfan les condicions de l'enunciat.

Solución: (1) a=0,b=3,c=3+132a=0, b=3, c=\frac{3+\sqrt{13}}{2}; (2) a=0,b=3,c=3−132a=0, b=3, c=\frac{3-\sqrt{13}}{2}; (3) a=3,b=0,c=3+132a=3, b=0, c=\frac{3+\sqrt{13}}{2}; (4) a=3,b=0,c=3−132a=3, b=0, c=\frac{3-\sqrt{13}}{2}

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Ejercicio P2 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio P2 · Extraordinaria 2023 ›

Más ejercicios de Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales