Ejercicio 2B · Matemáticas II PAU Canarias Junio 2025

Tema: Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Del examen Junio (2025)

Enunciado

Dada la matriz A=(5−422k1−44k)A = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & k & 1 \\ -4 & 4 & k \end{pmatrix}, con k∈Rk \in \mathbb{R}.

a)

Estudiar el rango de AA según los valores del parámetro kk.

b)

Para k=−1k = -1, comprobar que A2=2A−IA^2 = 2A - I, donde II denota la matriz identidad de orden 3. Además, utilizando la igualdad anterior verifica, sin calcular la potencia, que A4=4A−3IA^4 = 4A - 3I.

Enunciado: Ejercicio 2B · Matemáticas II PAU Canarias Junio 2025

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Valores de k que anulan el determinante

Solución: k=−2k = -2, k=−65k = -\frac{6}{5}

a) Estudiar el rango de A según los valores del parámetro k

Solución: Si k≠−2k \neq -2 y k≠−65k \neq -\frac{6}{5}, rang(A)=3\mathrm{rang}(A) = 3. Si k=−2k = -2 o k=−65k = -\frac{6}{5}, rang(A)=2\mathrm{rang}(A) = 2.

b) Para k = -1, comprobar que A^2 = 2A - I y verificar que A^4 = 4A - 3I

Solución: A2=2A−I=(9−844−32−88−3)A^2 = 2A - I = \begin{pmatrix} 9 & -8 & 4 \\ 4 & -3 & 2 \\ -8 & 8 & -3 \end{pmatrix}, y A4=(2A−I)2=4A2−4A+I=4(2A−I)−4A+I=4A−3IA^4 = (2A - I)^2 = 4A^2 - 4A + I = 4(2A - I) - 4A + I = 4A - 3I.

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