Problema 5 · Matemáticas II PAU Aragón Ordinaria 2023

Tema: Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Del examen Ordinaria (2023)

Enunciado

Sean las siguientes matrices:

A=(−21201−1),B=(1011−20),C=(2311),D=A⋅BT−2I,A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = A \cdot B^T - 2I,

donde BTB^T es la matriz traspuesta de BB, e II es la matriz identidad de orden 3.

a)

(1 punto) Estudia si la matriz DD tiene inversa y, en caso afirmativo, calcúlala.

b)

(1 punto) Resuelve la ecuación matricial CX=AT⋅BC X = A^T \cdot B, donde ATA^T es la matriz traspuesta de AA.

Enunciado: Problema 5 · Matemáticas II PAU Aragón Ordinaria 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Estudia si la matriz D tiene inversa

Solución: No tiene inversa porque det⁡(D)=0\det(D) = 0

a) En caso afirmativo, calcúlala (D^-1)

Solución: No tiene inversa / D−1=−14(0−44412−80−12)D^{-1} = -\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 & -4 & 4 \\ 4 & 12 & -8 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}

b) Planteamiento y despeje de la ecuación matricial C X = A^T · B

Solución: X=C−1⋅AT⋅BX = C^{-1} \cdot A^T \cdot B

b) Matriz solución X

Solución: (−5030)\begin{pmatrix} -5 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}

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